线性代数4.ppt
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1、在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.,在矩阵的运算中, 单位阵 I 相当于数的乘法运算中 的1, 那么, 对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1, 使得,AA-1 = A-1A = I,则矩阵A称为可逆矩阵, 称A-1为A逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.4 逆 矩 阵,定义: 对于n 阶方阵A, 如果存在一个n 阶方阵B, 使得 AB = BA = I 则称矩阵A是可逆的, 并称矩阵B为A的逆矩阵. A的逆 矩阵记作A-1, 即,(1)A与,为同阶方阵;,(2)若 B 是 A 的逆矩阵,那么 A 也是 B 的逆矩阵;,(3),例如: 设,由于 AB = B
2、A = I,所以 B 为 A 的逆矩阵.,说明: 若A是可逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的.,事实上: 若设B和C是A的逆矩阵, 则有,所以, A的逆矩阵是唯一的, 即,AB = BA = E, AC = CA = E,可得:,B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.,B = C = A-1.,解: 利用待定系数法.,即,则,又因为,则,解得,所以,即,AB = BA = E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的, 必须寻求可行而有效的方法.,证明: 若A可逆, 则有A-1, 使得AA-1 = I.,定理1: 矩阵A可逆的充要条件是| A | 0, 且,其中A
3、*为矩阵A的伴随矩阵.,故 | A | A-1 | = | I | = 1,所以, | A | 0.,由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | I, 知,当| A | 0时,按逆矩阵的定义得,说明:,(1)该定理揭示了矩阵可逆的充要条件,,并给出了逆矩阵的一种求法公式法.,(2) 上(下)三角矩阵可逆当且仅当,主对角元全不为0,且当,时,这里逆矩阵由定义得到!,若,当 12n 0时,A 可逆,且,例2、当a,b满足什么条件时,矩阵 A 不可逆,其中,解:,由矩阵可逆的充要条件可知:,当a=1或b=2时,A不可逆.,当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异矩阵.
4、,由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.,若A可逆,那么由,AB = O,B = O,由AB = AC,B = C,证明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1,推论: 若 AB=E (或 BA=E), 则 B=A-1.,故| A | 0.,因而, A-1存在,于是,B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.,故结论成立.,推论说明:若 ABE,则一定有 BAE.,当| A | 0 时, 定义,A0 = E, A-k = (A-1)k (k为正整数).,且此时对任意整数, , 有,AA = A+, (A)
5、 = A.,逆矩阵的运算性质,(1) 若矩阵A可逆, 则A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A.,(2) 若矩阵A可逆, 且 0, 则 A 亦可逆, 且,若A, B为同阶可逆方阵, 则AB亦可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1.,证明:,(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1=AA-1=I,所以,(AB)-1=B-1A-1.,一般地,证明:,(4) 若矩阵A可逆, 则AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.,AT(A-1)T =(A-1A)T=IT =I,所以,(AT)-1=(A-1)T.,求转置和求逆可以换序.,(5) 若矩阵A可逆, 则有| A-1 |=|
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