线性代数6.ppt
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1、2.6 矩阵分块法,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵A, 为了简化运算, 经常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具体做法是: 用若干条纵线和横线将矩阵A分成许多个小矩阵, 每一个小矩阵称为矩阵A的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.,常用分块方法:,(1)分成两行两列:得到22分块矩阵;,(2)按行分块:得到分块列矩阵;,(3)按列分块:得到分块行矩阵;,(4)若矩阵为方阵,且非零元集中在主对角线附近, 可分块为对角块矩阵.,例如:,其中,其中,其中,其中,其中,二、分块矩阵的运算规则,(1) 分块矩阵的加法: 设矩阵A与B是同型的, 按相同的分块法, 有,其
2、中子块Aij与Bij是同型的( i=1,2, s ; j=1,2, r ), 则,(2) 分块矩阵的数乘: 设为数, 矩阵,则,(3) 分块矩阵的乘法:设A为ml 矩阵, B为l n矩阵, 分块为,其中Ai1, Ai2, , Ait的列数分别等于B1j, B2j, , Btj的行数, 则,做乘法时,B的行的分法和A的列的分法保持一致.,例1: 设,求AB.,解: 把A, B分块成,则,而,于是,(4) 设,则,(5) 设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵除对角线上的子块为方阵外, 其余子块均为零矩阵, 即,则称A为分块对角矩阵, 或准对角矩阵.,1. | A | = | A1 | | A2 | |
3、 As |.,2. 设分块对角矩阵A, 若| Ai | 0 (i=1,2,s),则| A | 0, 且,分块对角矩阵具有下述性质:,3.,4. 若,例2: 设,求A+B, ABA.,解: 将A, B分块,其中,其中,所以,而,所以,其中,则,所以,解: 将A分块,形成分块对角矩阵.,例3:证明若 n 阶上三角矩阵 A 可逆,则其逆矩阵也是,上三角矩阵.,思路:用数学归纳法,并利用分块矩阵的技巧.,证明:,当 n = 1 时, A=(a11),结论成立.,假设命题对 n1 阶可逆上三角矩阵成立,考虑 n 阶的情形:,将矩阵 A 分块为,其中 A1 是 n1 阶可逆上三角矩阵.,设A的逆矩阵为,那
4、么,于是,由归纳假设知 A1 的逆矩阵是 n1 阶上三角矩阵,所以,也是上三角矩阵.,结论得证.,说明:,从证明过程中还可以得到A的逆矩阵的主对角 元是A的相应的主对角元的倒数.(习题91),证: 由于A, B都是n 阶可逆方阵, 即| A | 0, | B | 0,则 | D |= | A | | B | 0,所以D为可逆方阵.,设,其中Xij 均为n 阶方阵(i , j = 1,2).,其中E为n 阶单位矩阵.,由矩阵相等的定义有:,从而得, X11= A-1, X12= O, X21= B-1C A-1, X22= B-1.,故,同理可得: 设A, B都是n 阶可逆矩阵,(1) 若,则,
5、(2) 若,则,例5:设 A 是 nn 矩阵,B 是 ns 非零矩阵, 若 ABO,证明 |A| = 0.,证明:将矩阵 B 和 O 按列分块为:,于是,由矩阵相等可知:,又因为B为非0矩阵,所以至少有一个,于是,齐次线性方程组,有非零解,故 |A|=0,三、分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵.,对于分块矩阵可以与普通矩阵类似地定义初等变换 和初等矩阵。,只讨论22分块矩阵,分块对换阵,分块倍乘阵,或,分块倍加阵,或,(1)分块初等矩阵都是方阵;,(2)在运算可行的前提下,分块初等矩阵在分块矩阵,的乘法中的作用与普通初等矩阵在矩阵乘法中的作用,相同.,解:用“初等变换”的方法做:,例7:设,且A
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