线性代数LinearAlgebra刘鹏.ppt
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1、线 性 代 数 Linear Algebra 刘鹏,复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 ,问题:非齐次线性方程组 AX=b 的所有解向量 是否构成 Rn 上的线性空间?,否,因为对线性运算不封闭:,设 X1 X1 是解向量,则,对加法运算不封闭,因此不能构成 Rn 上的 线性空间.,三、过渡矩阵与坐标变换公式,定义 4.6: 设 1, 2 , ., n 和 1, 2 , ., n 是 n 维线性空间 V 中的两个基,且有:,则称矩阵 M 为由基1, 2 , ., n 到 基 1, 2 , ., n 的过渡矩阵(transition matrix).,定理
2、 4.3: 设 1, 2 , ., n 和1, 2 , ., n 是 n 维线性空间 V 中的两个基,且有:,则,(1) 过渡矩阵 M 是可逆的;,(2) 若 V,且在基 1, 2 , ., n 和 1, 2 , ., n 下的坐标分别为 x1,x2,.,xn T 和 x1,x2,.,xn T ,则有,四、线性子空间的维数与基,基/维数/坐标等概念也可以应用到线性子空间,定理 4.4: 设1, 2 , . , l 与 1 , 2 , . , s 是线性空间 V 中的两个向量组。,(1) L(1, 2 , . , l ) = L(1 , 2 , . , s ) 的充分必要条件是 1, 2 , .
3、 , l 与 1 , 2 , . , s 等价;,(2) L(1, 2 , . , l ) 的维数等于向量组 1, 2 , . , l 的秩., 4.3 欧几里德(Euclid)空间,一、欧几里德空间的定义及基本性质,定义 4.7:引入内积后的有限维实线性空间 就是欧氏空间.,常定义内积 (inner/dot/scalar product) 如下,实数,内积的基本性质:,(1) (,) = (,);,(2) (k,) = k(,);,(3) (+,) = (,) + (,);,(4) (,)0 ,当且仅当=0 时(,)= 0 .,对称性,(2、3)线性性,恒正性,二、向量的长度与夹角,有了内积
4、的定义,可以进一步给出欧氏空间内 向量的长度与向量间夹角的定义.,定义 4.8: 设是欧氏空间 V 的一个向量, 称非负实数,为向量的长度(length) 或模或范数 (norm,2范数) ,记为:,长度为1的向量:单位向量.,有了范数就可以度量:度量向量间距离的远近,度量向量的长度,度量误差的大小,长度的基本性质:,(3) 三角不等式: | + | | + |.,(1) 正定性: | 0; 且| = 0 = ;,(2) 齐次性: |k| = |k| (kR);,定理 4.5: 柯西施瓦茨不等式(Cauchy-Schwartz Inequality):,对于欧氏空间 V 中任意两个向量 , ,
5、恒有,当且仅当 与 线性相关时等号成立.,定义, 的夹角为,定义 4.9:设, 是欧氏空间中的两个非零向量,定义 4.10: 若(, ) = 0, 即 = / 2, 则称与 正交或垂直 ,记为 .,三、内积的坐标表示,设 V 是一个 n 维欧氏空间,在 V 中任意取定 一个基 1, 2 , .,n ,对 V 中任意两个向量 , 有,有了内积的定义,线性空间中的基、维数、 坐标等概念也可以应用于欧氏空间.,由内积的性质,利用矩阵可表示为,其中,矩阵 A 称为基 1, 2 , .,n 的 度量矩阵 (metric matrix).,由定义,度量矩阵是实对称阵,,度量矩阵的对角线元素恒正.,A 是基
6、中各个向量的内积构成的,度量矩阵确定 后,V 中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定.,例: 设1, 2 , 3,4 是欧氏空间V 中的一个基, 其度量矩阵为,且V 中两个向量,求 |2 | 和 ( , ).,解:由度量矩阵的定义,由(3.8)式,如果基中向量两两正交,度量矩阵变为对角阵;,如果基中向量不仅两两正交,而且长度为1 度量矩阵变为单位阵 内积计算大大简化.,四、标准正交基,线性空间内任一向量可由基和坐标线性表示;,基作为度量标准,首先必需满足:(1) 组成向量线性无关;(2) 空间中任一向量都可由基线性表示.,基作为度量标准,本身应该尽可能简洁。,普通基不满足:表示不方便,计算不方
7、便, 计算不稳定.,而标准正交基类似于几何空间中的直角坐标系: 表示方便,计算方便,计算稳定.,后面我们会看到,在标准正交基下,内积、 范数、度量矩阵等都具有简单的形式;,标准正交基是基的一种,所以任一向量 , 总能用标准正交基线性表示.,例如: (1 0 0)(1 1 0) (1 1 1) 与 (1 0 0)(0 1 0) (0 0 1),定义 4.11 在欧氏空间 V 中,一组非零向量,如果它们两两正交(mutually orthogonal) ,就称它为 正交向量组。,例如 R n 的标准基 (e1 , e2 , ., en),例如,1 2 1,1 1 1,1 0 1,证明:作正交向量组
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