线性方程组与矩阵秩的若干问题.ppt
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1、线性方程组与矩阵秩的若干问题,福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿 2008年10月,引言,矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的,它是矩阵的最重要数字特征之一。 这里,我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容: 矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用; 矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。,一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用,m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为:,线性方程组(1)的矩阵表示为:,其中,,线性方程组有解的判定定理,线性方程组(1)有解的充分必要条件是,这里, 表示矩阵
2、 的秩。特别地,,若 ,则线性方程组(1)有唯一解; 若 ,则线性方程组(1)有无穷多解。,利用上述定理,可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。,1. 直线与直线的位置关系,设几何空间中两条直线的方程分别为,这样, 与 的位置关系取决于线性方程组,解的情况。记,则有如下结论:,(i) 与 相交,(ii) 与 重合,(iii) 与 平行,(iv) 与 异面,2. 直线与平面的位置关系,设几何空间中直线和平面的方程分别为,记,则有如下结论:,(i) 与 相交,(ii) 在 上,(iii) 与 平行,3. 三个平面的位置关系,设几何空间中三个平面的方程分别为,记,则有如下结论:,
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