中值定理.ppt
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1、6.1 中值定理,一、罗尔定理与拉格朗日定理,二、函数单调性的判别,质来得到 f 在该区间上的整体性质.,中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了,第六章 微积分学 基 本 定 理 及 其 应 用,定理6.1(罗尔中值定理),一、罗尔定理与拉格朗日定理,那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点, 使,(i) 在闭区间 a, b 上连续;,(ii) 在开区间 (a, b) 上可导;,(iii) f(a) = f(b).,(1) 几何意义,据右图,平的.,一点处的切线也是水,看出, 曲线上至少有,的.由几何直观可以,所以线段 AB 是水平,因为,f (a) = f (b),(2) 条件分析,定理
2、中的三个条件都很重要,缺少一个,结论不,在 0, 1 上满足条件 (ii) 和,一定成立.,数在 (0, 1) 上的导数恒为1.,(iii), 但条件 (i) 不满足,该函,满足条件 (i) 和 (iii), 但条件,条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii),满足,处不可导), 结论也不成立.,(ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0,内的导数恒为1.,却遭到破坏,该函数在 (0, 1),条件都不满足, 却仍有,f (0)=0. 这说明罗尔定,理的三个条件是充分,条件, 而不是必要条件.,定理的证明,因为 f (x) 在 a, b 上连续,所以由连续函数的最大、,情形1 M = m.
3、此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒,f () = 0 .,小值 m .下面分两种情形加以讨论.,最小值定理,f (x) 在 a, b 上能取得最大值 M 和最,等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有,情形2 m M. 既然最大、最小值不等,从而最大,因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以,值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最,由费马定理,得,这与条件矛盾.,例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p(x) = 0 没有实,证,重数为 1 .,根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根,且这个根的,矛盾.,设函数 f (x) 满足:,定理6.2 (拉格朗
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