2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档:第二章 第八节 函数与方程 Word版含答案.pdf
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1、第八节 函数与方程 2019 考纲考题考情 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD), 把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 y f(x)(xD)的零点。 (2)几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点 函数 yf(x)有零点。 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲 线, 并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 1若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至 多有一个零点。函数的零点不是一个“点” ,而是方程 f(x)0 的 实根。 2函数零点
2、存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。 3周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点。 一、走进教材 1 (必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的, 且有如下对应值表: x12345 f(x)42147 在下列区间中,函数 f(x)必有零点的区间为( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 解析 由所给的函数值的表格可以看出,x2 与 x3 这两 个数字对应的函数值的符号不同, 即 f(2)f(3)0, 所以 f(x)在 R 上单调递增, 又 f(1) 30,因此函数 f(x)有且只有一个零点。故选 B。 1 e 答案 B 二、走近高考 3 (2017全
3、国卷)已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有 唯一零点,则 a( ) A B. C. D1 1 2 1 3 1 2 解析 令f(x)0, 则x22xa(ex1ex1), 设g(x)ex1 ex1, 则 g(x)ex1ex1ex1, 当 g(x) 1 ex1 e2x11 ex1 0 时,x1,故当 x1 时,g(x)0,函数 g(x)在(1,)上单调递增, 当 x1 时, 函数 g(x)取得最小值 2, 设 h(x)x22x, 当 x1 时, 函数 h(x)取得最小值1, 若a0 时,f(x)0,当 x0即可, 即1m0且8 m0,解得80,所以 2 x 2 3 g(2)g(3)0, 所
4、以f(1)f(2)0),y2lnx(x0)的图象,如图所示。由 图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2。故选 C。 答案 (1)B (2)C 函数零点个数的判断方法 1直接求零点,令 f(x)0,有几个解就有几个零点; 2零点存在性定理,要求函数在区间a,b上是连续不断的 曲线, 且f(a)f(b)0,f(2) 2 ( 1 2) 1 321 1 10 ( 1 2) 5 0,当 x 时, 12x x 1 2 1 2 1 2 f(x)0,f(e2)82e20),在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,如图 所示,两个函数图象的交点个数就等于函数 f(x)零点的个数,容 易看出函数 f(
5、x)零点的个数为 2,故选 B。 答案 B 考点二 函数零点的应用微点小专题 方向 1:已知函数零点的个数,求参数取值范围 【例 3】 若函数 f(x)axx2(a1)有三个不同的零点,则 实数 a 的取值范围是_。 解析 令 f(x)axx20, 可得 axx2。 当 x0 时,两边同时取自然对 数得 xlna2lnx, 即 lna, 由题意得函数 ylna 与 g(x) 2lnx x 2lnx x 的图象在(0,)上有两个不同的交点,g(x),令 21lnx x2 g(x)0,解得 0e,则 g(x)在(e,)上单调递减,则 g(x)maxg(e) , 2 e 当 x时,g(x)0 且 g
6、(x)0,当 x0 时,g(x),则有 00 时,得 x0;当 k0 时,kx x1 x 1 x 24(当 x1 时, 取等号), 又 k0, 得 k4; 当10 时, x1 为 f(x)的零点, x0 时, x0 为 f(x)的 零点,故 x0 时,f(x) 0,则 f(x)为(0,)上的增 1 x 2 x2 函数, 又 f(2)ln210, 所以函数 f(x) 1 e 1 e lnx 的零点 x0满足 2t1)且 t10, 所以函数F(x)在0, )上单调递增, 从而F(x)F(0) 22130, 所以 F(x)在0, )上单调递增, 所以 F(x)F(0) 2,故 x2x1的最小值为 2
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