2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档:第二章 第十二节 定积分与微积分基本定理 Word版含答案.pdf
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1、第十二节 定积分与微积分基本定理 2019 考纲考题考情 考纲要求考题举例考向标签 1.了解定积分的实际 背景,了解定积分的 基本思想,了解定积 分的概念 2了解微积分基本 定理的含义 2015天津高 考T11(求面积) 2015福建高考T8(定 积分与概率的综合) 2014陕西高 考T16(定积分的计 算) 命题角度: 1定积分的计算 2利用定积分求平 面图形的面积 3定积分在物理中 的应用 核心素养:数学运 算、直观想象 1定积分的定义 一般地,如果函数 f(x)在区间a,b上连续,用分点 a x0x1xi1xixnb,将区间a,b等分成 n 个小区间,在 每个小区间xi1,xi上任取一点
2、 i(i1,2,n),作和式 n i1 f(i)xf(i),当 n时,上述和式无限接近某个常数, n i1 ba n 这个常数叫做函数 f(x)在区间a,b上的定积分,记作f(x)dx。 b a 2定积分的相关概念 在f(x)dx 中, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限, 区间a, b a b叫做积分区间, 函数 f(x)叫做被积函数, x 叫做积分变量, f(x)dx 叫做被积式。 3定积分的性质 (1)kf(x)dxkf(x)dx(k 为常数)。 b a b a (2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx。 b a b a b a (3)f(x)dxf(x)dxf(x
3、)dx(其中 acb)。 b a c a b c 4定积分的几何意义 如图: 设阴影部分面积为 S。 (1)Sf(x)dx。 b a (2)Sf(x)dx。 b a (3)Sf(x)dxf(x)dx。 c a b c (4)Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx。 b a b a b a 5微积分基本定理 如果 F(x)f(x), 且 f(x)在a, b上可积, 则f(x)dxF(b) b a F(a)。其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数。可以把 F(b)F(a)记为 F(x)Error!Error! ,即f(x)dxF(x)Error!Error! F(b)F(a)。 b a
4、b a b a 1定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值为正 ; 当曲边梯 形位于 x 轴下方时,定积分的值为负;当位于 x 轴上方的曲边梯 形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零。 (2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是路程。 2函数 f(x)在闭区间a,a上连续,则有 (1)若 f(x)为偶函数,则f(x)dx2f(x)dx。 a - a a 0 (2)若 f(x)为奇函数,则f(x)dx0。 a - a 一、走进教材 1(选修 22P50A 组 T5改编)定积分 |x|dx( ) 1 - 1 A1 B2 C3 D4 解析 |
5、x|dx (x)dxxdx2xdxx2Error!Error!1。故 1 - 1 0 - 1 1 0 1 0 选 A。 答案 A 2 (选修 22P60B 组 T3改编)曲线 yx22x 与直线 yx 所 围成的封闭图形的面积为( ) A. B. 1 6 1 3 C. D. 5 6 2 3 解析 由Error!Error!可得Error!Error!或Error!Error!所以曲线yx22x与直线 yx 所围成的封闭图形的面积如图为 (x2xx2)dxError!Error! 。故选 A。 0 - 1 ( 1 2x 21 3x 3 ) 1 6 答案 A 二、走近高考(近几年高考未涉及过) 3
6、(2015湖南高考) (x1)dx_。 2 0 解析 (x1)dxError!Error!(22)00。 2 0 ( 1 2x 2x ) 答案 0 4(2015天津高考)曲线 yx2与直线 yx 所围成的封闭图 形的面积为_。 解析 曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形如图中阴影 部分所示,由Error!Error!解得 x0 或 x1,所以 S (xx2)dx 1 0 | 。 ( 1 2x 21 3x 3 ) 1 0 1 2 1 3 1 6 答案 1 6 三、走出误区 微提醒:定积分变量误解致误;不理解定积分的几何意 义;曲边梯形面积表达出错。 5. (2xt)dx_。 1 0 解析 (2x
7、t)dx(x2tx)| 1t。 1 0 1 0 答案 1t 6. dx_。 2 0 4x2 解析 根据几何意义可得。 答案 7 曲线 yx2(x1,1)与 x 轴所围成的封闭图形的面积 为_。 解析 所求面积 S (x2)dx2 x2dx 。 1 - 1 1 0 2 3 答案 2 3 考点一 定积分的计算 【例 1】 (1)(sinxcosx)dx_。 0 (2)若 f(x),则f(x)dx 为_。32xx2 3 1 (3)设 f(x)Error!Error!(e 为自然对数的底数),则f(x)dx 的值为 e 0 _。 解析 (1)(sinxcosx)dxsinxdxcosxdx2。 0 0
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