2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档:第五章 第三节 等 比 数 列 Word版含答案.pdf
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1、第三节 等 比 数 列 2019 考纲考题考情 1等比数列的有关概念 (1)定义: 文字语言:从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数(非零)。 符号语言:q(nN*,q 为非零常数)。 an1 an (2)等比中项 : 如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 即 : G 是 a 与 b 的等比中项a, G, b 成等比数列G2 ab。 2等比数列的有关公式 (1)通项公式:ana1qn1。 (2)前 n 项和公式:SnError!Error! 3等比数列的性质 (1)通项公式的推广:anamqnm(m,nN*)。 (2)对任意的正整数 m,n,
2、p,q,若 mnpq,则 aman apaq。 特别地,若 mn2p,则 amana 。 2 p (3)若等比数列前 n 项和为 Sn,则 Sm,S2mSm,S3mS2m仍 成等比数列,即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*,公比 q1)。 (4)数列an是等比数列,则数列pan(p0,p 是常数)也是 等比数列。 (5)在等比数列an中, 等距离取出若干项也构成一个等比数 列,即 an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公比为 qk。 (6)若Error!Error!或Error!Error!则等比数列an递增。 若Error!Error!或Error!Error!则等比数列a
3、n递减。 1 若数列an为等比数列, 则数列can(c0), |an|, a , 2 n 也是等比数列。 1 an 2由 an1qan,q0,并不能立即断言an为等比数列, 还要验证 a10。 3在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q1 与 q1 分类讨论, 防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失 误。 一、走进教材 1(必修 5P54A 组 T8改编)在 3 与 192 中间插入两个数,使 它们同这两个数成等比数列,则这两个数为_。 解析 设该数列的公比为 q, 由题意知, 1923q3, q364, 所以 q4。所以插入的两个数分别为 3412,12448。 答案 12,4
4、8 2 (必修 5P62B 组 T2改编)等比数列an的首项 a11, 前 n 项和为 Sn,若,则an的通项公式 an_。 S10 S5 31 32 解析 因为, 所以, 因为 S5, S10S5, S15 S10 S5 31 32 S10S5 S5 1 32 S10成等比数列, 且公比为 q5, 所以 q5, q , 则 an 1 32 1 2 1 n1n1。 ( 1 2) ( 1 2) 答案 n1 ( 1 2) 二、走近高考 3(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明 代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例, 为这个理论的发展做 出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十
5、二份,依次 得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前 一个单音的频率的比都等于。若第一个单音的频率为 f,则第 12 2 八个单音的频率为( ) AfBf 3 2 3 22 C.fD.f 12 25 12 27 解析 从第二个单音起, 每一个单音的频率与它的前一个单 音的频率的比都等于,第一个单音的频率为 f,由等比数列的 12 2 概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为 f,公比为的 12 2 等比数列, 记为an, 则第八个单音频率为 a8f()81f, 12 2 12 27 故选 D。 答案 D 4(2017全国卷)设等比数列an满足 a1a21, a1a3 3,则
6、a4_。 解析 根据等比数列的通项公式可得Error!Error!两式相除可得 ,由式解得Error!Error!所以 a4a1q3(2)38。 1q 1q2 1 3 答案 8 三、走出误区 微提醒:“G2ab”是“a,G,b”成等比数列的必要不 充分条件;忽视 q1 的特殊情况;对数的运算性质不熟练。 5在等比数列an中,a34,a716,则 a3与 a7的等比中 项为_。 解析 设 a3与 a7的等比中项为 G,因为 a34,a716,所 以 G241664,所以 G8。 答案 8 6 数列an的通项公式是anan(a0), 则其前n项和为Sn _。 解析 因为 a0,anan,所以an是
7、以 a 为首项,a 为公 比的等比数列。当 a1 时,Snn;当 a1 时 Sn。 a1an 1a 答案 Error!Error! 7若等比数列an的各项均为正数,且 a10a11a9a122e5, 则 lna1lna2lna20_。 解析 因为数列an为等比数列,且 a10a11a9a122e5,所 以 a10a11a9a122a10a112e5,所以 a10a11e5,所以 lna1lna2 lna20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10lne5050。 答案 50 考点一 等比数列的基本运算 【例 1】 (1)(2018福建泉州一模)已知等比数列an是递增 数列
8、,a1a765,a2a664,则公比 q( ) A4B4 C2D2 (2)(2018全国卷)等比数列an中,a11,a54a3。 求an的通项公式; 记 Sn为an的前 n 项和。若 Sm63,求 m。 (1)解析 由Error!Error!得Error!Error!又等比数列an是递增数列, 所以 Error!Error!所以 q2。故选 D。 6 64 答案 D (2)解 设an的公比为 q,由题设得 anqn1。 由已知得 q44q2,解得 q0(舍去),q2 或 q2。 故 an(2)n1或 an2n1。 若 an(2)n1,则 Sn。 12n 3 由 Sm63 得(2)m188,此方
9、程没有正整数解。 若 an2n1,则 Sn2n1。 由 Sm63 得 2m64,解得 m6。 综上,m6。 1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题, 等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二” , 通过列方程(组)便可迎刃而解。 2 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论, 当q 1 时, an的前 n 项和 Snna1; 当 q1 时, an的前 n 项和 Sn 。 a11qn 1q a1anq 1q 【变式训练】 (1)(2019赣州摸底)Sn是等比数列an的前n 项和,若 S4,S3,S5成等差数列,则an的公比 q 的值为( ) AB2 1 2
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