2020版高考数学一轮复习课后限时集训42立体几何中的向量方法理含解析新人教A版2.pdf
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1、- 1 - 课后限时集训(四十二) 立体几何中的向量方法课后限时集训(四十二) 立体几何中的向量方法 (建议用时:60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成 角的余弦值为( ) A. B. 10 10 30 10 C. D. 2 15 10 3 10 10 B 建立空间直角坐标系如图 则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),(1,0,2),(BC1 AE 1,2,1), cos,.BC1 AE BC1 AE |BC1 |AE | 30 10 所以异面直线B
2、C1与AE所成角的余弦值为. 30 10 2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,底面为等边三角形,侧棱垂直于底面,AB4,AA16, 若E,F分别是棱BB1,CC1上的点,且BEB1E,C1FCC1,则异面直线A1E与AF所成角的 1 3 余弦值为( ) A. B. 3 6 2 6 C. D. 3 10 2 10 D 以C为原点,CA为x轴,在平面ABC中作AC的垂线为y轴,CC1 为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示 由题意知A1(4,0,6),E(2,2,3),F(0,0,4),A(4,0,0),3 (2,2,3),A1E 3 (4,0,4)AF 设异面直线A1E与AF所成的角为, 则
3、cos . |A1E AF | |A1E |AF | 4 20 2 2 10 异面直线A1E与AF所成角的余弦值为.故选 D. 2 10 3在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,AC2,BC,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直3 - 2 - 线DE与平面BB1C1C所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 A 由已知AB2BC2AC2, 得ABBC.以B为原点, 分别以BC,BA,BB1所 在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设AA12a,则A(0,1,0),C(,0,0),D,3 ( 3 2 ,1 2,a) E(0,0,a),所以 , 平面BB1C1C的一个法
4、向量为n(0,1,0),ED ( 3 2 ,1 2,0) cos,n ,n 60, 所以直线DE与平面BB1C1CED ED n |ED |n| 1 2 ( 3 2) 2(1 2) 202 1 1 2 ED 所成的角为 30.故选 A. 4.如图, 在四棱锥PABCD中, 四边形ABCD为平行四边形, 且BC平面PAB, PAAB,M为PB的中点,PAAD2.若AB1,则二面角BACM的余弦值 为( ) A. B. 6 6 3 6 C. D. 2 6 1 6 A 因为BC平面PAB,PA平面PAB,所以PABC,又PAAB,且BCABB, 所以PA平面ABCD. 以点A为坐标原点, 分别以AB
5、,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴, 建立 空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),B(1,0,0),M, ( 1 2,0,1) 所以(1,2,0),AC AM ( 1 2,0,1) 求得平面AMC的一个法向量为n(2,1,1), 又平面ABC的一个法向量(0,0,2),AP 所以 cosn, .AP nAP |n|AP | 2 411 2 1 6 6 6 所以二面角BACM的余弦值为. 6 6 5 在直三棱柱ABCA1B1C1中, ACB90, 2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60, 则AD的长为( ) A. B.23 - 3 -
6、 C2 D. 2 2 A 如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2)设ADa,则D点坐标为(1,0,a), (1,0,a), CD CB1 (0,2,2)设平面B1CD的法向量为m(x,y,z) 由Error! 得Error!令z1,则m(a,1,1) 又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0), 则由 cos 60,得 ,解得a, |mn| |m|n| 1 a22 1 2 2 所以AD.故选 A.2 二、填空题 6.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底
7、面ABC,ABBCAA1, ABC 90, 点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是_ 60 以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系设ABBC AA12, 则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1), 则(0,1,1),(2,0,2),EF BC1 2,EF BC1 cos, ,EF BC1 2 2 2 2 1 2 EF和BC1所成的角为 60. 7 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB, 则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_ 以D为坐标原点, 建立空间直角坐标系, 如图, 设AA12AB2, 则D(0,0,0), 2
8、 3 C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则(0,1,0),(1,1,0),(0,1,2)DC DB DC1 设平面BDC1的法向量为n(x,y,z), 则Error!所以有Error! 令y2,得平面BDC1的一个法向量n(2,2,1) 设CD与平面BDC1所成的角为,则 sin |cosn, | .DC | nDC |n|DC | 2 3 8(2019 汕头模拟 )在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC90,ADBC,SA平面ABCD,SAABBC - 4 - 1,AD , 则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是_ 1 2 如图所示,建立空间直角坐标系,则
9、依题意可知, 6 3 D,C(1,1,0),S(0,0,1), ( 1 2,0,0) 可知是平面SAB的一个法向量AD ( 1 2,0,0) 设平面SCD的一个法向量n(x,y,z), 因为,SD ( 1 2,0,1) ,DC ( 1 2,1,0) 所以n0,n0,SD DC 即 z0, y0. x 2 x 2 令x2,则有y1,z1, 所以n(2,1,1) 设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为, 则 cos |AD n| |AD |n| . 1 2 20 10 1 ( 1 2) 2 221212 6 3 三、解答题 9.(2019陕西模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1AAB,
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