2020版高考数学一轮复习高考大题增分课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教学案理含解析北师大版.pdf
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1、- 1 - 高考大题增分课 高考大题增分课 二 三角函数与解三角形中的高考热点问题 命题解读 从近五年全国卷高考试题来看,解答题第 17 题交替考查解三角形与数列, 本专题的热点题型有:一是考查解三角形;二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题;三是 平面几何图形中的度量问题;四是三角形中的最值(范围)问题 解三角形 以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状,主要考查正弦 定理、余弦定理以及三角函数公式的应用 【例 1】 (2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 sin A 3 cos A0,a2,b2.7 (1)求c; (2)设D为BC边上一点,
2、且ADAC,求ABD的面积 解 (1)由已知可得tan A,所以A.3 2 3 在ABC中,由余弦定理得 284c24ccos, 2 3 即c22c240, 解得c6(舍去),c4. (2)由题设可得CAD, 2 所以BADBACCAD. 6 故ABD面积与ACD面积的比值为 1. 1 2ABADsin 6 1 2ACAD 又ABC的面积为 42sinBAC2, 1 2 3 所以ABD的面积为.3 规律方法 1.正、余弦定理的选用 解三角形时,如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;如果式子 中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个 定理
3、都有可能用到 2与三角形面积有关问题的解题策略 - 2 - (1)求三角形的面积对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一 1 2 1 2 1 2 个角就使用含哪个角的公式 (2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理进 行边和角的互化 (2018郑州二模)ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对 边,且 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C,c3. (1)求A; (2)若AD是BC边上的中线,AD,求ABC的面积 19 2 解 (1)2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C, 由正弦定理得bsin
4、Basin Absin Ccsin C, 则b2a2bcc2. 所以 cos A ,所以A60. b2c2a2 2bc 1 2 (2)以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC, 在ABE中,ABE120,AE,19 由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120, 即 199AC223AC,解得AC2(舍负) ( 1 2) 故SABCbcsin A 23. 1 2 1 2 3 2 3 3 2 三角恒等变换与解三角形 以三角形为载体,三角恒等变换与解三角形交汇命题,是近几年高考试题的一大亮点, 主要考查和、 差、 倍角公式以及正、 余弦定理的综合应用, 求解的关键是根据题目提供的信息, 恰
5、当地实施边角互化 【例2】 (2017全国卷) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin2. B 2 (1)求 cos B; (2)若ac6,ABC的面积为 2,求B 解 (1)由题设及ABC 得 sin B8sin2, B 2 故 sin B4(1cos B) 上式两边平方,整理得 17cos2B32cos B150, - 3 - 解得 cos B1(舍去),cos B. 15 17 (2)由 cos B得 sin B, 15 17 8 17 故SABCacsin Bac. 1 2 4 17 又SABC2,则ac. 17 2 由余弦定理及ac6 得b2a2c2
6、2accos B(ac)22ac(1cos B)36217 2 4. (1 15 17) 所以b2. 规律方法 1.以三角形为载体,实质考查三角形中的边角转化,求解的关键是抓住边 角间的关系,恰当选择正、余弦定理 2解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件),此时应首先确 定三角形的边角关系,然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化 在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且(ac)2b23ac. (1)求角B的大小; (2)若b2,且 sin Bsin(CA)2sin 2A,求ABC的面积 解 (1)由(ac)2b23ac,整理得a2c2b2ac, 由余弦
7、定理得 cos B , a2c2b2 2ac ac 2ac 1 2 0B,B. 3 (2)在ABC中,ABC,即B(AC), 故 sin Bsin(AC), 由已知 sin Bsin(CA)2sin 2A可得 sin(AC)sin(CA)2sin 2A, sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A, 整理得 cos Asin C2sin Acos A. 若 cos A0,则A,由b2,可得c, 2 2 tan B 2 3 3 此时ABC的面积Sbc. 1 2 2 3 3 若 cos A0,则 sin C2sin A,由正弦定理可知,c
8、2a, 代入a2c2b2ac,整理可得 3a24,解得a, 2 3 3 - 4 - c, 4 3 3 此时ABC的面积Sacsin B. 1 2 2 3 3 综上所述,ABC的面积为. 2 3 3 平面图形中的几何度量问题 以四边形为载体,通过分割或补形构造新的三角形,其实质还是考查三角形中正、余弦 定理的应用 【例3】 (本题满分12分 )(2018 全国卷 )在平面四边形ABCD中,ADC90,A45,AB 2,BD5. (1)求 ; cosADB (2)若 . DC2 2,求BC 信息提取 看到想到ADB;想到ADB中已知哪些量;想到如何应用正、余弦定理 解三角形 看到想到DBC;想到用
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