关于无人机四元数解算姿态角解析你知道吗?.doc
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1、关于无人机四元数解算姿态角解析你知道吗?无人机四元数解算姿态角解析一、概述无人机求解姿态角有多种算法,但由于各种算法的自身限制及计算机计算速度的限制,所以我们需要选择一个较佳的求解算法,下面我们先来看看几种求解姿态角的算法:1.欧拉角法:欧拉角法(又称三参数法)是欧拉在1776 年提出来的,其原理是动坐标系相对参考坐标系之间的位置关系可以用一组欧拉角来描述。解算欧拉角微分方程只需要解三个微分方程,与其它方法相比,需要求解的方程个数少一些但在用计算机进行数值积分时,要进行超越函数(三角函数)的运算,从而加大了计算的工作量。用此方法求解得到的姿态矩阵永远是正交矩阵。在进行加速度信息的坐标变换时变换
2、后的信息中不存在非正交误差,得到的姿态矩阵不需要进行正交化处理。当载体的纵摇角(俯仰角)为90 时,将出现奇点,因此该方法不能进行全姿态解算,其使用存在一定的局限。2.方向余弦法:方向余弦法(称九参数法)用矢量的方向余弦来表示姿态矩阵的方法。绕定点转动的两个坐标系之间的关系可以用方向余弦矩阵来表示。方向余弦矩阵是随时间变化的,其变化规律的数学描述就是方向余弦矩阵的微分方程,方向余弦矩阵的即时值就可以通过求解该微分方程而得到。该方法求解姿态矩阵避免了欧拉角法所遇到的奇点问题,可以全姿态工作。但方向余弦矩阵具有九个元素,所以需要解九个微分方程,计算工作量较大,在工程上并不实用。3.三角函数法:三角
3、函数法(又称六参数法)是将绕定点转动的两个坐标系之间的关系用三次转动等效地表示,将三次转动角度的正、余弦函数来表示姿态函数。该方法虽然避免了欧拉角法的缺点,可以全姿态工作,但需要解六个微分方程,计算量也不小,工程上并不实用。4.Rodrigues参数法:Rodrigues 数法是法国数学家Rodrigues 在1840 年提出的,该方法所描述的姿态是唯一的,并且具有简洁、直观的优点,其微分方程结构简单,无多余约束,计算效率优于当前广泛使用的四元数法。由于Rodrigues 参数法存在旋转角有奇异值的缺陷 ,因此限制了其在工程上的应用。Schaub 和Junkin 对该方法的缺陷,改进后仍然存在
4、奇异值。但是Rodriguess 参数法仍不失为解算姿态的有效途径。5.四元数法:四元数法 (又称四参数法) 。英国数学家W.R.Haminlton 在1843 年在数学中引入了四元数。但直到20 世纪60 年代末期这种方法还没有得到实际应用,随着空间技术、计算技术SINS 技术的发展,四元数才引起人们的重视。求解四元数微分方程要解四个微分方程。虽然要比解欧拉微分方程多一个方程,但其优越性在于计算量小、精度高、可避免奇异性,该方法是目前研究的重点之一。由于方向余弦法在对载体姿态动力学求解时会产生歪斜、刻度和漂移误差等,然而,SINS 中在进行姿态求解时估计出这些误差是很重要的。与方向余弦法相比
5、,四元数法的优点在于不仅歪斜误差等于零;而且刻度误差的推导很简单,能得出便于进一步分析的解析表达式,而方向余弦法只有在特殊的情况下才能分析和检测到刻度误差,且不能得出通用的结论。通过从不同角度对欧拉角法、方向余弦法和四元数法进行对比。结果表明四元数法具有最佳的性能。6.等效旋转矢量法:由于欧拉角法、方向余弦法、三角函数法和四元数法对于圆锥运动都有原理误差,而Rodrigues 参数法又存在奇异值,因此人们又致力于研究能有效抑制圆锥运动所产生的不可交换性误差的算法。由于刚体的有限转动不是矢量,其转动次序不可交换。无限小转动才是矢量。 1971 年Bortz 提出的转动向量微分方程为计算SINS
6、的姿态矩阵建立了全面的理论基础。用该方法描述绕定点转动的两个坐标系之问的关系被称为等效旋转矢量法。转动向量的变化率是惯性测量的角速度向量与计算得到的非互易速率向量二者之和,后者是影响SINS 姿态角精度的一个重要因素,因此,在高角速率动态环境中,为防止姿态误差积累,必须对非互易速率向量进行补偿。对非互易向量进行补偿的计算一般称为圆锥补偿算法。要提高算法精度,可以有两种选择,一种是对陀螺输出信号进行高频率采样,使用简单的圆锥算法;另一种是适当降低对陀螺输出信号进行采样的频率,使用复杂但精度高的圆锥算法。从以上六种算法的介绍中,每个算法求解欧拉角都有其自身的小缺点,但通过综合对比,在四轴上用来解算
7、欧拉角的更好的算法是四元数法,虽然其也有缺点,但其优越性在于计算量小、精度高、可避免奇异性,因此被大多数人所采用。所以下面我们将接收通过如何通过四元数来计算我们所需要的姿态角。二、基本概念地理坐标系:习惯上,我们以正北方(x轴)、正东方(y轴)、垂直指向天空(z轴)建立地理三维直角坐标系(符合右手定则建立)。图形示例如下:机体坐标系:习惯上以机体正前方(x轴)、机体正右方(y轴)、机体垂直正上方(z轴)建立机体坐标轴。图形示例如下:MPU定义坐标系:令芯片表面朝向自己,将其表面文字转至正确角度,此时,以芯片内部中心为原点,水平向右的为x轴,竖直向上的为y轴,指向自己的为z轴。见下图:向量点积:
8、向量的叉乘(也叫向量的外积,定义符号“”为两向量叉乘符号):物理意义:利用向量的叉积可以创造出一个新的维度,而这个维度是独立于(垂直于)先前这个空间的,因此,在这个新的维度空间可以当成目标运动的参照系。图形示例如下:旋转向量与旋转矩阵的联系:处理三维旋转问题时,通常采用旋转矩阵的方式来描述。一个向量乘以旋转矩阵等价于向量以某种方式进行旋转。除了采用旋转矩阵描述外,还可以用旋转向量来描述旋转,旋转向量的长度(模)表示绕轴逆时针旋转的角度(弧度),下文将会推导旋转矩阵。这里用图片来表示旋转向量。四元数:1.为什么会用到四元数2.四元数通过上述了解,我们知道了四元数可以表示三维空间的旋转信息,那接下
9、来我们先来了解下四元数的基本概念及运算法则。1)四元数定义:在数学中四元数定义为上述关系可以叙述为:相同单位向量进行四元数乘法呈虚单位特性,相异单位向量进行四元数乘法呈两向量叉乘特性,故四元数可以看作一个超复数(超复数是复数在抽象代数中的引申,以高维度呈现。),也可看作四维空间中的一个向量。2)四元数的表示形式:四元数有多种表现形式,有矢量式、复数式、三角式、矩阵式、指数式,下面我们简单看一下他们各自的定义式。A.矢量式B.复数式C三角式D.矩阵式3)四元数的大小数学中用四元数的范数来表示四元数的大小,具体如下:4)四元数的运算法则A.加法与减法若有如下两个四元数:B.乘法乘法又分四元数与四元
10、数相乘、四元数与标量相乘,具体如下:a.与标量相乘b.与四元数相乘若有如下两个四元数:C.除法(称为求逆)逆的定义:也即有三、利用四元数求解姿态变换矩阵前面我们讲过,四元数可以描述三维空间的旋转信息,也即是我们可以通过四元数求出一个物体相对于一个坐标系旋转之后的坐标信息。由于人在地面上看运动物体时,是以地理坐标系为参照系的,所以当我们想知道物体发生了怎样的变化时,就得研究物体相对于参照坐标系到物体坐标系转化之间的坐标关系。由于地理坐标系与物体坐标系均为直角坐标系,各个轴之间均为直角,当我们只研究两个坐标系之间的角度变化时,可将物体(等效为刚体)与坐标系固联,也即是,两个坐标系之间的角位置关系可
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