2020届高考数学一轮课件:11.4 离散型随机变量的分布列、期望与方差 .pdf
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1、11.4 离散型随机变量的分布列、期望 与方差 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 20102019年高考全国卷考情一览表 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 考点116离散型随机变量的分布列、期望与方差 1.(2018浙江,7,4分,难度)设00; 当p(0.1,1)时,f(p)400,故应该对余下的产品作检验. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 4.(2018北京,理17,12分,难度)电影公司随机收集了电影的有 关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指
2、:一类电影中获得好评的 部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评 的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得 好评的概率; 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率 相等.用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影 没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6 的大小关系. 解(1)设“从电影公司收集的电影
3、中随机选取1部,这部电影是获得好 评的第四类电影”为事件A, 第四类电影中获得好评的电影为2000.25=50(部). (2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得 好评”为事件B, P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35. (3)由题意可知,定义随机变量如下: 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 则k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影: D1=0.40.6=0.24; 第二类电影: D2=0.20.8=0.16; 第三类电影: D3=0.150.85=0.127 5; 考情概览考情概览试题类编试
4、题类编试题类编试题类编 考点116考点117 第四类电影: D4=0.250.75=0.187 5; 第五类电影: D5=0.20.8=0.16; 第六类电影: D6=0.10.9=0.09; 综上所述,D1D4D2=D5D3D6. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 5.(2018天津,理16,13分,难度)已知某单位甲、乙、丙三个部 门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人, 进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机 抽取3人
5、做进一步的身体检查. 用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布 列与数学期望; 设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的 员工”,求事件A发生的概率. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 解(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于 采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门 的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以,随机变量X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 设事件B为“抽取的3人中,睡
6、眠充足的员工有1人,睡眠不足的员 工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足 的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由 知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 6.(2017全国3,理18,12分,难度)某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降 价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天 需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需 求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,
7、25),需求量为300瓶;如果 最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计 了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种 酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 解(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 因此X的分布列为 (2)由题意知,这种酸奶一天的
8、需求量至多为500,至少为200,因此只 需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20,25), 则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20, 则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 当200n300时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20, 则Y=6200+2(n-200)-
9、4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 7.(2017天津,理16,13分,难度)从甲地到乙地要经过3个十字路 口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分 (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的 分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概 率. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 解(1
10、)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以,随机变量X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的 个数, 则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 8.(2017山东,理18,12分,难度)在心理学研究中,常采用对比试 验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试 验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗
11、示,另一组接受乙 种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价 两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志 愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙 种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率. (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数 学期望EX. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件 (2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则 考情概览考情概览试题
12、类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 因此X的分布列为 X的数学期望是 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4) 在求离散型随机变量取某值的概率时,常常会用到古典概型 求概率的问题,结合排列组合知识求得各对应概率,就转化为常规 的期望与方差题目. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 9.(2016天津,理16,13分,难度)某小组共10人,利用假期参加义 工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这 10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参
13、加义工活动次数之和为4”,求事件A发 生的概率; (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 所以,随机变量X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 10.(2015天津,理16,13分,难度)为推动乒乓球运动的发展,某乒 乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动 员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从 这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且
14、这2名种子选手来 自同一个协会”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数 学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 所以,随机变量X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 11.(2015四川,理17,12分,难度)某市A,B两所中学的学生组队参 加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、 4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相 当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代 表队. (1)求A中学至少有1
15、名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参 赛的男生人数,求X的分布列和数学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 解(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的 (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 所以X的分布列为 因此,X的数学期望为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 12.(2015安徽,理17,12分,难度)已知2件次品和
16、3件正品混放在 一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不 放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次 品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列 和均值(数学期望). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A, (2)X的可能取值为200,300,400. 故X的分布列为 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类
17、编 考点116考点117 13.(2015福建,理16,13分,难度)某银行规定,一张银行卡若在一 天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱 时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密 码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进 行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁 定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数 学期望. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点116考点117 解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, (2)
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