2020届高考数学一轮课件:7.4 空间向量与立体几何 .pdf
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1、7.4 空间向量与立体几何 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 20102019年高考全国卷考情一览表 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编考情概览考情概览 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考点85利用空间向量求线线角 1.(2014全国2,理11,5分,难度)直三棱柱ABC-A1B1C1 中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与 AN所成角的余弦值为( C ) 考情概览考情概览试题类编试题
2、类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 解析如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别为x 轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 不妨设BC=CA=CC1=1,可知点 求异面直线所成角的方法思路:利用直线的方向向量将 异面直线所成的角转化成向量所成的角.即若异面直线a,b的方向 向量为a,b,所成的角为,则cos = . 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 2.(2012陕西,理5,5分,难度)如图,在空间直角坐标系中有直三棱 柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦
3、值 为( A ) 解析不妨设CB=1,则CA=CC1=2.由题图知,A点的坐标为(2,0,0),B点 的坐标为(0,0,1),B1点的坐标为(0,2,1),C1点的坐标为(0,2,0). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 3.(2010大纲全国,文6,5分,难度)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若 BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( C ) A.30 B.45C.60D.90 解析不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,- 1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-
4、1,0,1), 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 4.(2018上海,17,14分,难度)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O, 半径为2. (1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积; (2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且AOB=90,M为线段AB的中点, 如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 解(1)圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为4, (2)PO=4,OA,OB是底面半径,且AOB=90,M为线段AB的中 点,以O为原点,OA为x轴,O
5、B为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系, P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0), 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 5.(2015全国1,理18,12分,难度)如图,四边形ABCD为菱 形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)证明:平面AEC平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 (1)证明连接BD,设BDA
6、C=G,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1. 由BE平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC. 从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG. 又ACFG=G,可得EG平面AFC. 因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考点86利用空间向量求线面角 1.(2019天津,理17,13分,难度)如图,AE平面 ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF平面A
7、DE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)若二面角E-BD-F的余弦值为 ,求线段CF的长. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 (1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以 的方向为x 轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h0),则F(1,2,h). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点
8、88 本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成 的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查 空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 2.(2019浙江,19,15分,难度)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面 A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F 分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88
9、解方法一: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点, 所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC,则A1EBC. 又因为A1FAB,ABC=90,故BCA1F. 所以BC平面A1EF. 因此EFBC. (2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E平面 ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形. 由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面 A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O,则EOG是直线EF与平面A1
10、BC所成的角(或其 补角). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 方法二: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1, 平面A1ACC1平面ABC=AC, 所以,A1E平面ABC. 如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1 为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的 角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.
11、考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 3.(2018全国1,理18,12分,难度)如图,四边形ABCD为正方 形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达 点P的位置,且PFBF. (1)证明:平面PEF平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 解(1)由已知可得,BFPF,BFEF, 所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD. (2)作PHEF,垂足为H. 由(1)得,PH平面ABFD. 考情
12、概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 4.(2018全国2,理20,12分,难度)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM 所成角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 解(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点, 由OP2+OB2=PB2知POOB. 由O
13、POB,OPAC知PO平面ABC. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 5.(2018浙江,19,15分,难度)如图,已知多面体 ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面 ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 故AB1B1C1.因此AB1平面A
14、1B1C1. (2)如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 由AB1平面A1B1C1,得平面A1B1C1平面ABB1, 由C1DA1B1,得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1与平面ABB1所 成的角. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 解法二(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz. 所以AB1平面A1B1C1. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编
15、 考点85考点86考点87考点88 (2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 6.(2017北京,理16,12分,难度)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD平面 MAC,PA=PD= ,AB=4. (1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B-PD-A的大小; (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 (1)证明设AC,BD交点为E,连接ME. 因为PD平
16、面MAC, 平面MAC平面PDB=ME,所以PDME. 因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点. 所以M为PB的中点. (2)解取AD的中点O,连接OP,OE. 因为PA=PD,所以OPAD. 又因为平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面 ABCD. 因为OE平面ABCD,所以OPOE. 因为ABCD是正方形,所以OEAD. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 7.(2016全国3,理19,12分,难度)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底 面AB
17、CD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一 点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明:MN平面PAB; (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 又ADBC,故TNAM, 四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT. 因为AT平面PAB,MN平面PAB, 所以MN平面PAB. (2)解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考
18、情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 8.(2015全国2,理19,12分,难度)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过 点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF与平面所成角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 解(1)交线围成的正方形EHGF如图: (2)作EMAB,垂足为M, 则AM=A1E=4,EM=AA1
19、=8. 因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量, 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 9.(2015上海,理19,12分,难度)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=1,AB=AD=2,E,F分别是棱AB,BC的中点.证明A1,C1,F,E四点 共面,并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 解如图,以D为原点建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A1(2,0,1),C1(0,2,1
20、),E(2,1,0),F(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1). 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 10.(2014北京,理17,12分,难度)如图,正方形AMDE的边长为 2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点, 平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H. (1)求证:ABFG; (2)若PA底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大 小,并求线段PH的长. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 (1)证明在正方形AMDE中,
21、因为B是AM的中点, 所以ABDE. 又因为AB平面PDE,所以AB平面PDE. 因为AB平面ABF,且平面ABF平面PDE=FG,所以ABFG. (2)解因为PA底面ABCDE,所以PAAB,PAAE. 如图建立空间直角坐标系A-xyz,则 令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1). 设直线BC与平面ABF所成角为,则 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 即(u,v,w-2)=(2,1,-2), 所以u=2,v=,w=2-2. 因为n是平面ABF的法向量, 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88
22、 11.(2014福建,理17,12分,难度)在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将ABD沿BD折起,使得平面 ABD平面BCD,如图. (1)求证:ABCD; (2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 (1)证明平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AB平面 ABD,ABBD, AB平面BCD. 又CD平面BCD,ABCD. (2)解过点B在平面BCD内作BEBD,如图. 由(1)知AB平面BCD,BE平面BCD, BD平面BCD, ABBE,A
23、BBD. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 12.(2014陕西,理17,12分,难度)四面体ABCD及其三视图如图 所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱 BD,DC,CA于点F,G,H. (1)证明:四边形EFGH是矩形; (2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值. 考情概览考情概览试题类编试题类编试题类编试题类编 考点85考点86考点87考点88 (1)证明由该四面体的三视图可 知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,A
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