三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题18坐标系与参数方程文(含解析).pdf
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1、1 专题 18 坐标系与参数方程专题 18 坐标系与参数方程 1【2019 年高考全国卷文数】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t , (t为参数)以 坐 标 原 点O为 极 点 ,x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 2cos3 sin110 (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值 【答案】(1); 的直角坐标方程为;(2) 2 2 1(1) 4 y xx l23110xy7 【解析】(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为 2 2 1 11 1 t t
2、 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t 2 2 1(1) 4 y xx 的直角坐标方程为l23110xy (2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,) cos , 2sin x y C上的点到 的距离为l 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 当时,取得最小值7,故C上的点到 距离的最小值为 2 3 4cos11 3 l7 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最 值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求 解问题 2【2019 年高考全国卷文数】在极坐标
3、系中,O为极点,点在曲线上, 000 (,)(0)M :4sinC 直线l过点且与垂直,垂足为P(4,0)AOM 2 (1)当时,求及l的极坐标方程; 0= 3 0 (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程 【答案】(1),l的极坐标方程为; 0 2 3cos2 3 (2)4cos , 4 2 【解析】(1)因为在C上,当时, 00 ,M 0 3 0 4sin2 3 3 由已知得| |cos2 3 OPOA 设为l上除P的任意一点在中,( , )Q RtOPQcos| 2 3 OP 经检验,点在曲线上(2,) 3 P cos2 3 所以,l的极坐标方程为cos2 3 (2
4、)设,在中,即( , )P RtOAP| |cos4cos ,OPOA 4cos 因为P在线段OM上,且,故的取值范围是APOM, 4 2 所以,P点轨迹的极坐标方程为4cos , 4 2 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型 3【2019 年高考全国卷文数】如图,在极坐标系Ox中,(2,0)A( 2,) 4 B ( 2,) 4 C (2, )D 弧,所在圆的圆心分别是, 曲线是弧, 曲线是弧, AB BC CD (1,0)(1,) 2 (1, ) 1 M AB2 M BC 曲线是弧 3 M CD (1)分别写出,的极坐标方程; 1 M 2 M 3
5、 M (2)曲线由,构成,若点在M上,且,求P的极坐标M 1 M 2 M 3 M P|3OP 3 【答案】(1)的极坐标方程为,的极坐标方程为 1 M 2cos0 4 2 M ,的极坐标方程为 3 2sin 44 3 M 3 2cos 4 (2)或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为, ,AB BC CD2cos2sin 2cos 所以的极坐标方程为,的极坐标方程为, 1 M 2cos0 4 2 M 3 2sin 44 的极坐标方程为 3 M 3 2cos 4 (2)设,由题设及(1)知( , )P 若,则,解得; 0 4
6、2cos3 6 若,则,解得或; 3 44 2sin3 3 2 3 若,则,解得 3 4 2cos3 5 6 综上,P的极坐标为或或或 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题 4【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点,直线l的方程为3,2, 42 AB sin3 4 (1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离 4 【答案】(1);(2)25 【解析】(1)设极点为O在OAB中,A(3,),B(,), 4 2 2 由余弦定理,得AB= 22 3( 2)2 32cos()5 24 (
7、2)因为直线l的方程为,sin()3 4 则直线l过点,倾斜角为(3 2,) 2 3 4 又,所以点B到直线l的距离为( 2,) 2 B 3 (3 22) sin()2 42 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力 5【2018 年高考全国卷文数】在直角坐标系中,曲线的方程为以坐标原点为极点,xOy 1 C| |2yk x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为x 2 C 2 2 cos30 (1)求的直角坐标方程; 2 C (2)若与有且仅有三个公共点,求的方程 1 C 2 C 1 C 【答案】(1)的直角坐标方程为;(2)的方程为 2 C 22 (1)
8、4xy 1 C 4 | 2 3 yx 【解析】(1)由,得的直角坐标方程为cosxsiny 2 C 22 (1)4xy (2)由(1)知是圆心为,半径为的圆 2 C( 1,0)A 2 由题设知,是过点且关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为,轴左边的射线为 1 C(0,2)B yy 1 l y 由于在圆的外面,故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有 2 l B 2 C 1 C 2 C 1 l 2 C 2 l 2 C 两个公共点,或与只有一个公共点且与有两个公共点 2 l 2 C 1 l 2 C 当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以,故或 1 l 2 C A 1 l 2 2
9、|2| 2 1 k k 4 3 k 0k 经检验,当时,与没有公共点;当时,与只有一个公共点,与有两个公共0k 1 l 2 C 4 3 k 1 l 2 C 2 l 2 C 点 5 当与只有一个公共点时,到所在直线的距离为,所以,故或 2 l 2 C A 2 l 2 2 |2| 2 1 k k 0k 4 3 k 经检验,当时,与没有公共点;当时,与没有公共点0k 1 l 2 C 4 3 k 2 l 2 C 综上,所求的方程为 1 C 4 | 2 3 yx 6【2018 年高考全国卷文数】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数), xOyC 2cos 4sin x y , 直线 的参数方程为(
10、为参数)l 1cos 2sin xt yt , t (1)求和 的直角坐标方程;Cl (2)若曲线截直线 所得线段的中点坐标为,求 的斜率Cl (1, 2)l 【答案】(1)曲线的直角坐标方程为, 的直角坐标方程为; (2) 的斜率为C 22 1 416 xy l1x l2 【解析】(1)曲线的直角坐标方程为C 22 1 416 xy 当时, 的直角坐标方程为,cos0ltan2tanyx 当时, 的直角坐标方程为cos0l1x (2)将 的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于 的方程lCt 22 (1 3cos)4(2cossin)80tt 因为曲线截直线 所得线段的中点在内,所以有两个解
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