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1、1 单元质检二 函数单元质检二 函数 (时间:100 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1 1.设集合M=x|2x-1 0), 2x(x 0), A.2B.0C.-4D.-6 3 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)内单调递增的是( ) A.y=-B.y=-x2 1 x C.y=e-x+exD.y=|x+1| 4 4.定义在 R R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),若f(x)在区间0,1上单调递增,则f,f(1),f(- 3 2) 的大小关系为( )( 4 3) A.f0 时,函数f(x)=(x2-ax)ex的图
2、象大致是( ) 2 7 7.已知函数f(x)=若始终存在实数b,使得函数g(x)=f(x)-b的零点不唯一, - x2+ ax,x 1, 2ax - 4,x 1, 则a的取值范围是( ) A.2,3)B.(-,2)C.(-,3)D.(-,3 8 8.已知函数f(x)=设aR R,若关于x的不等式f(x)在 R R 上恒成立,则 x2- x + 3,x 1, x + 2 x,x 1. | x 2 + a| a的取值范围是( ) A.B.- 47 16,2 - 47 16, 39 16 C.-2,2D.3- 2 3, 39 16 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9
3、9.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a0,且a1)在 区间(-1,+)内是减函数,则p是q的 .(填“充分不必要条件”“必要不充分条 件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 1010.已知函数f(x)的定义域为 R R.当x时,f 1 2 =f,则f(6)=.(x + 1 2) (x - 1 2) 1111.已知g(x)是 R R 上的奇函数,当xf(x), x3(x 0), g(x)(x 0). 则实数x的取值范围是 . 1212.已知奇函数f(x)满足对任意xR R 都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,
4、则f(2 015)+f(2 017)= . 1313.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b= . 9x- a 3x 1414.已知f(x)=若对任意xt,t+2,不等式f(x+t)2f(x)恒成立,则t的取值范围 x2,x 0, - x2,x 0,且a1)的图象过点(8,2)和(1,-1). (1)求函数f(x)的解析式; 3 (2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值. 1616.(13 分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3上有最大值 4 和最小值 1.设f(x)=. g
5、(x) x (1)求a,b的值; (2)若当x-1,1时不等式f(2x)-k2x0 有解,求实数k的取值范围. 1717.(13 分)已知f(x)=(xa). x x - a (1)若a=-2,试用定义证明f(x)在区间(-,-2)内单调递增; (2)若a0,且f(x)在区间(1,+)内单调递减,求a的取值范围. 1818.(13 分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t0),且f(1)=0. t + 2 2 t2 4 (1)求y=f(x)的解析式; (2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.- 1, 1 2 1919.(14 分)已知函数f(x)=lg,其中x
6、0,a0.(x + a x - 2) (1)求函数f(x)的定义域; (2)若对任意x2,+)恒有f(x)0,试确定a的取值范围. 2020.(14 分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0 时,f(x) 1 2 MN=,故选 A. x| 1 2 0), 2x(x 0), 3 3.C 解析选项 A 中函数是奇函数,不合题意; 选项 B 中函数在区间(0,+)内单调递减,不合题意; 选项 D 中函数为非奇非偶函数,不合题意;故选 C. 4 4.C 解析定义在 R R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1), f(x+2)=f(x). f=f=f,
7、f=f=f=f.(- 3 2) ( - 3 2 + 2) ( 1 2) ( 4 3) ( 4 3 - 2) (- 2 3) ( 2 3) f(x)在0,1上单调递增, f0,可设a=1,则f(x)=(x2-x)ex, f(x)=(x2+x-1)ex. 由f(x)=(x2+x-1)ex0, 解得x或x 1, 则b=-4 时,g(x)=f(x)-b的零点不唯一,选项 A 错误; 当a=2 时,f(x)= - x2+ 2x,x 1, 4x - 4,x 1, 则b=时,g(x)=f(x)-b的零点不唯一,选项 B 错误; 1 2 当a=3 时,f(x)=函数在 R R 上单调递增,所以不存在实数b,使
8、得函数 - x2+ 3x,x 1, 6x - 4,x 1, g(x)=f(x)-b的零点不唯一,选项 D 错误. 故选 C. 8 8.A 解析由函数f(x)=易知f(x)0 恒成立. x2- x + 3,x 1, x + 2 x,x 1 关于x的不等式f(x)在 R R 上恒成立,| x 2 + a| 关于x的不等式-f(x)+af(x)在 R R 上恒成立, x 2 即关于x的不等式-f(x)-af(x)-在 R R 上恒成立. x 2 x 2 设p(x)=f(x)-,则p(x)= x 2 x2- 3 2x + 3,x 1, x 2 + 2 x,x 1. 当x1 时,p(x)=x2- x+3
9、=, 3 2 (x - 3 4) 2 + 39 16 当x1 时,p(x)min= . 39 16 6 当x1 时,p(x)=2=2,当且仅当,即x=2 时,取等号, x 2 + 2 x x 2 2 x x 2 = 2 x 当x1 时,p(x)min=2. 2,p(x)min=2. 39 16 设q(x)=-f(x)-, x 2 则q(x)= - x2+ x 2 - 3,x 1, - 3x 2 - 2 x,x 1. 当x1 时,q(x)=-x2+ -3=-,当x1 时,q(x)max=- . x 2 (x - 1 4) 2 - 47 16 47 16 当x1 时,q(x)=-=-2,当且仅当,
10、即x=时,取等号. 3x 2 - 2 x ( 3x 2 + 2 x) 3 3x 2 = 2 x 23 3 当x1 时,q(x)max=-2.3 - -2,q(x)max=- . 47 16 3 47 16 关于x的不等式-f(x)-af(x)-在 R R 上恒成立,-a2.故选 A. x 2 x 2 47 16 9 9.充要条件 解析由p成立,得a1.由q成立,得 0时,由f 1 2 (x + 1 2) =f可得f(x+1)=f(x).(x - 1 2) 所以f(6)=f(51+1)=f(1). 而f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2. 所以f(6)=2. 1111.-20 时, g(
11、x)=-g(-x)=ln(1+x), 故函数f(x)= x3(x 0), ln(1 + x)(x 0), 因此当x0 时,f(x)=x3为单调递增函数,值域为(-,0. 当x0 时,f(x)=ln(1+x)为单调递增函数,值域为(0,+). 7 所以函数f(x)在区间(-,+)内单调递增. 因为f(2-x2)f(x), 所以 2-x2x, 解得-21). x2 x - 1 因为 x2 x - 1 = (x - 1)2+ 2(x - 1) + 1 x - 1 =(x-1)+2 1 x - 1 2+2=4,(x - 1) 1 x - 1 当且仅当x-1=,即x=2 时,等号成立,函数y=log2x
12、在(0,+)内单调递增,所以 log2- 1 x - 1 x2 x - 1 1log24-1=1,故当x=2 时,函数g(x)取得最小值 1. 1616.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a. 9 因为a0,所以g(x)在区间2,3上是增函数, 故解得g(2) = 1, g(3) = 4, a = 1, b = 0. (2)由已知可得f(x)=x+ -2,所以f(2x)-k2x0 可化为 2x+ -2k2x, 1 x 1 2x 可化为 1+-2k.( 1 2x) 2 1 2x 令t=,则kt2-2t+1. 1 2x 因为x-1,1, 所以t. 1 2,2 记h(t)=t2-2t+1,
13、因为t,所以h(t)max=1. 1 2,2 所以k1,即实数k的取值范围是(-,1. 1717.(1)证明当a=-2 时,f(x)=(x-2). x x + 2 设任意的x1,x2(-,-2),且x10,x1-x20,x2-x10, 要使f(x1)-f(x2)0, 只需(x1-a)(x2-a)0 在区间(1,+)内恒成立, a1. 综上所述,a的取值范围是(0,1. 10 1818.解(1)设f(x)=a(a0).(x - t + 2 2 ) 2 - t2 4 因为f(1)=0,所以(a-1)=0. t2 4 又因为t0,所以a=1, 所以f(x)=(t0).(x - t + 2 2 ) 2
14、 - t2 4 (2)因为f(x)=(t0),(x - t + 2 2 ) 2 - t2 4 所以当-1 时, t + 2 2 1 2 f(x)在上的最小值为f(x)min=f=-5,- 1, 1 2 ( 1 2) =( 1 2 - t + 2 2 ) 2 - t2 4 所以t=-(舍去). 21 2 综上所述,可得t=- . 9 2 1919.解(1)由x+ -20,得0. a x x2- 2x + a x 因为x0,所以x2-2x+a0. 当a1 时,x2-2x+a0 恒成立, 定义域为(0,+); 当a=1 时,定义域为x|x0,且x1; 当 01+.1 - a1 - a (2)对任意x
15、2,+)恒有f(x)0, 即x+ -21 对x2,+)恒成立, a x 故a3x-x2对x2,+)恒成立. 11 而h(x)=3x-x2=-在2,+)内是减函数,(x - 3 2) 2 + 9 4 于是h(x)max=h(2)=2. 故a2,即a的取值范围是a|a2. 2020.解(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0. 取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x), 即f(-x)=-f(x)对任意xR R 恒成立, 故函数f(x)为奇函数. (2)任取x1,x2(-,+), 且x10. f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)f(x2). f(x)在(-,+)内是减函数. 对任意x-3,3,恒有f(x)f(-3). f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1) =3f(1)=-23=-6, f(-3)=-f(3)=6, f(x)在-3,3上的最大值为 6. (3)f(x)为奇函数, 整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)ax-2, 即(ax-2)(x-1)0. 当a=0 时,xx|x 2 a或x 2 时, x. x|x 1 综上所述,当a=0 时,原不等式的解集为x|x 2 a或x 2 时,原不等式的解集为. x|x 1
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