天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练15导数的综合应用含解析新人教A版.pdf
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1、1 考点规范练 15 导数的综合应用考点规范练 15 导数的综合应用 一、基础巩固 1 1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1 处都取得极值. 2 3 (1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间; (2)若对于x-1,2,不等式f(x)0),e 为自然对数的底数. (1)若过点A(2,f(2)的切线斜率为 2,求实数a的值; (2)当x0 时,求证:f(x)a;(1 - 1 x) (3)若在区间(1,e)内,1 恒成立,求实数a的取值范围. f(x) x - 1 4 4.(2018 全国,理 21)已知函数f(x)= -x+aln x. 1 x (1)讨论f(x)的单调性
2、; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:0)在x=1 处取极值,其中a,b为常数. (1)若a0,求函数f(x)的单调区间; 2 (2)若函数f(x)在x=1 处取极值-1-c,且不等式f(x)-2c2恒成立,求实数c的取值范围; (3)若a0,且函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2,证明:x1+x22. 6 6.设函数f(x)=x2+bx-aln x. (1)若x=2 是函数f(x)的极值点,1 和x0是函数f(x)的两个不同零点,且x0(n,n+1),nN N,求n. (2)若对任意b-2,-1,都存在x(1,e),使得f(x)f(2)=2+c,解得c2. c的取值范围为(
3、-,-1)(2,+). 2 2.(1)证明当a=1 时,f(x)1 等价于(x2+1)e-x-10. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1 时,g(x)0,h(x)没有零点; (ii)当a0 时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增. 故h(2)=1-是h(x)在区间0,+)内的最小值. 4a e2 若h(2)0,则a .由于h(0)=1,所以h(x)在区间(0,2)内有一个零点. e2 4 由(1)知,当x0 时,exx2,
4、 所以h(4a)=1-=1-1-=1- 0. 16a3 e4a 16a3 (e2a)2 16a3 (2a)4 1 a 故h(x)在区间(2,4a)内有一个零点.因此h(x)在区间(0,+)内有两个零点. 综上,f(x)在区间(0,+)内只有一个零点时,a= . e2 4 3 3.(1)解f(x)=, a x f(2)= =2,a=4. a 2 (2)证明令g(x)=a,(lnx - 1 + 1 x) 则g(x)=a.( 1 x - 1 x2) 令g(x)0,得x1; g(x)1 在区间(1,e)内恒成立,即使-10 在区间(1,e)内恒成立,即0 在区 f(x) x - 1 alnx x -
5、1 alnx + 1 - x x - 1 间(1,e)内恒成立. 令h(x)=alnx+1-x, 5 则h(x)= -1. a x 令h(x)0,解得xe 时,h(x)在(1,e)内单调递增,所以h(x)h(1)=0. 当 12,令f(x)=0,得x=或x=. a -a2- 4 2 a +a2- 4 2 当x时,f(x)0. ( a -a2- 4 2 , a +a2- 4 2 ) 所以f(x)在区间内单调递减,在区间内单 (0, a -a2- 4 2 ),( a +a2- 4 2 , + ) ( a -a2- 4 2 , a +a2- 4 2 ) 调递增. (2)证明由(1)知,f(x)存在两
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