天津专用2020届高考数学一轮复习考点规范练36立体几何中的向量方法含解析新人教A版.pdf
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1、1 考点规范练 36 立体几何中的向量方法考点规范练 36 立体几何中的向量方法 一、基础巩固 1 1.直线l的方向向量 s s=(-1,1,1),平面的法向量为 n n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值 为( ) A.-2B.-C.D.222 2 2.已知平面的一个法向量为 n n=(1,-,0),则y轴与平面所成的角的大小为( )3 A.B.C.D. 6 3 4 5 6 3 3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则点M的坐标为( )2 A.(
2、1,1,1)B.( 2 3 , 2 3 ,1) C.D.( 2 2 , 2 2 ,1)( 2 4 , 2 4 ,1) 4 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且,N为B1B的中点,则|为AM = 1 2MC1 MN ( ) A.aB.aC.aD.a 21 6 6 6 15 6 15 3 5 5.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角 的大小是( ) A.30B.45 C.60D.90 6 6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( ) A.B.C
3、.D. 2 2 15 5 6 4 6 3 2 7 7.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC 与平面PAC所成的角为 . 8 8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,且=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对ABADAP 于结论: APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是 .(填序号) APAP BD 9 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD底面ABCD,M为 底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的
4、轨迹为 .(填序号) 1010.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2, AC=CD=.5 (1)求证:PD平面PAB. (2)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由. AM AP 3 1111.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD= 1 2 ABC=90,E是PD的中点. (1)证明:直线CE平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为 45,求二面角M-AB-D的余弦值. 二、能力提升 4 121
5、2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E= A1D,AF= AC,则( ) 2 3 1 3 A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EFA1D,EFAC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 1313.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面 A1BD所成的角为,则 sin 的取值范围是( ) A. 3 3 ,1 B. 6 3 ,1 C. 6 3 , 22 3 D. 22 3 ,1 1414.如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为,M,
6、N分别是 3 3 AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于 . 1515.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是 线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2. 5 (1)求证:MN平面BDE; (2)求二面角C-EM-N的正弦值; (3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长. 7 21 三、高考预测 1616.如图,在四棱锥A-EFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a, EBC=FCB=60,O为EF的中点. (1)求证:AOBE; (2)
7、求二面角F-AE-B的余弦值; (3)若BE平面AOC,求a的值. 6 考点规范练 3636 立体几何中的向量方法 1 1.D 解析当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0, 解得x=.2 2 2.B 解析可知y轴的方向向量为 m m=(0,1,0),设y轴与平面所成的角为, 则 sin=|cos|. cos=-, mn |m|n| = -3 2 1 3 2 sin=,= . 3 2 3 3 3.C 解析设M(x,x,1).由已知得A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),则=(x- 2, 222AM2 ,x-,1),=(,-,
8、0),=(0,-,1).2BD22BE2 设平面BDE的一个法向量为 n n=(a,b,c), 则n BD, n BE, 即 2a - 2b = 0, -2b + c = 0. 解得 a = b, c = 2b. 令b=1,则 n n=(1,1,).2 又AM平面BDE,所以 n n=0,AM 即 2(x-)+=0,得x=.22 2 2 所以M.( 2 2 , 2 2 ,1) 4 4.A 解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.(a,a, a 2) 设M(x,y,z), 点M在AC1上,且,AM = 1 2MC1 7 (x-a,y,z)
9、=(-x,a-y,a-z). 1 2 x= a,y=,z=,得M. 2 3 a 3 a 3 ( 2a 3, a 3, a 3) |=MN(a - 2 3a) 2 +(a - a 3) 2 +( a 2 - a 3) 2 =a. 21 6 5 5.B 解析(方法一)建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分 别为 n n1=(0,1,0),n n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求的 n1n2 |n1|n2| = 2 2 二面角的大小是 45. 图 图 (方法二)将其补成正方体.如图,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平
10、面ABQP和平 面CDPQ所成的二面角,其大小为 45. 6 6.C 解析取B1C1的中点D1,以A1为原点,A1D1,A1A所在直线为x轴、z轴建立如图所示的空间直角 坐标系,设AB=2,则C1(,1,0),A(0,0,2),=(,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为 n n=(1,0,0).3AC13 所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为. |AC1n| |AC1|n| = 3 8 = 6 4 7 7.30 解析如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 8 设OD=SO=OA=OB=OC=a, 则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.(0, -
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