新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十突破“函数与导数”压轴大题的6个“卡壳点”含解析新人教A.pdf
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1、- 1 - 课时跟踪检测(二十) 突破“函数与导数”压轴大题的 6 个“卡壳 点” 课时跟踪检测(二十) 突破“函数与导数”压轴大题的 6 个“卡壳 点” 1(2019福建三校联考)已知函数f(x)exax,g(x)ln(xm)ax1. (1)当a1 时,求函数f(x)的最小值; (2)若对任意的x(m,),恒有f(x)g(x)成立,求实数m的取值范围 解:(1)当a1 时,f(x)exx,则f(x)1. 1 ex 令f(x)0,得x0. 当x0 时,f(x)0,当x0 时,f(x)0, 函数f(x)在区间(,0)上单调递减,在区间(0,)上单调递增 当x0 时,函数f(x)取得最小值,最小值
2、为f(0)1. (2)由(1)得 exx1 恒成立 f(x)g(x)exaxln(xm)ax1exln(xm)1. 故x1ln(xm)1,即mexx在(m,)上恒成立 当m0 时,在(m,)上,exx1,得 0m1; 当m0 时,在 (m,)上,exx1,mexx恒成立 于是m1. 实数m的取值范围为(,1 2设函数f(x)exax2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a1,k为整数,且当x0 时,(xk)f(x)x10,求k的最大值 解:(1)f(x)的定义域为(,),f(x)exa. 若a0,则f(x)0,所以f(x)在(,)上单调递增 若a0,则当x(,ln a)时,f(x)0;
3、当x(ln a,)时,f(x)0, 所以f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增 (2)由于a1, 所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1. 故当x0 时,(xk)f(x)x10 等价于 kx(x0) x1 ex1 令g(x)x,则g(x). x1 ex1 exexx2 ex12 由(1)知, 函数h(x)exx2 在(0, )上单调递增 而h(1)0,h(2)0, 所以h(x) 在(0,)上存在唯一的零点故g(x)在(0,)上存在唯一的零点 - 2 - 设此零点为,则(1,2) 当x(0,)时,g(x)0;当x(,)时,g(x)0. 所以g(x)在(0,)上的最
4、小值为g() 又由g()0,可得 e2,所以g()1(2,3) 由于式等价于kg(),故整数k的最大值为 2. 3(2019石家庄质检)已知函数f(x)x(ln xax)(aR) (1)若a1,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程; (2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1x2,求证:f(x2) . 1 2 解:(1)由已知得,f(x)x(ln xx),当x1 时,f(x)1, f(x)ln x12x, 当x1 时,f(x)1, 所以所求切线方程为y1(x 1), 即xy0. (2)证明:由已知条件可得f(x)ln x12ax有两个不同的零点,且两零点的左、右 两侧附近
5、的函数值符号相反 令f(x)h(x),则h(x) 2a(x0), 1 x 若a0,则h(x)0,h(x)单调递增,f(x)不可能有两个零点; 若a0,令h(x)0 得x,可知h(x)在上单调递增,在上单调 1 2a(0, 1 2a)( 1 2a,) 递减, 令f0,解得 0a , ( 1 2a) 1 2 此时 ,f0, 1 e 1 2a( 1 e) 2a e ,f2ln a1 0, 1 a2 1 2a( 1 a2) 2 a 所以当 0a 时,函数f(x)有两个极值点x1,x2, 1 2 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,) f(x)0
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