新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十四利用空间向量求空间角含解析新人教A版.pdf
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1、- 1 - 课时跟踪检测(四十四) 利用空间向量求空间角课时跟踪检测(四十四) 利用空间向量求空间角 一、题点全面练 1.如图所示, 在正方体ABCDA1B1C1D1中, 已知M,N分别是BD和AD 的中点, 则B1M与D1N所成角的余弦值为( ) A. B. 30 30 30 15 C.D. 30 10 15 15 解析:选 C 建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长 为 2,则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),(1,1,2), (1,0,B1M D1N 2), B1M与D1N所成角的余弦值为. | | |14| 114 14 30 10 2如图
2、,已知长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB3,E为线段AB上一点,且AE AB,则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为( ) 1 3 A.B. 3 35 35 2 7 7 C.D. 3 3 2 4 解析:选 A 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C1(0,3,1),D1(0,0,1), E(1,1,0),C(0,3,0), (0,3,1), (1,1,1), (0,3,1)DC1 D1E D1C 设平面D1EC的法向量为 n(x,y,z), 则Error!即Error!取y1,得n(2,1,3) cos,n,DC1 n
3、 |n| 3 35 35 DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为. 3 35 35 3 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA12, 二面角BAA1C1的大小为 60, 点B到平面ACC1A1 的距离为, 点C到平面ABB1A1的距离为 2, 则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为( )33 A.B.76 C.D25 解析 : 选 A 由题意可知, BAC60, 点B到平面ACC1A1的距离为, 点C到平面ABB1A13 - 2 - 的距离为 2,所以在三角形ABC中,AB2,AC4,BC2,ABC90,33 则()()4,AB1 BC1 BB1 BA BB1 BC |2,|4,AB1 2BC
4、1 cos,AB1 BC1 | 2 4 故 tan,.AB1 BC1 7 4.如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别 为AB,AA1,A1C1的中点, 则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( ) A.B. 3 5 5 6 C.D. 3 3 10 3 6 10 解析:选 A 设正三棱柱的棱长为 2, 取AC的中点D, 连接DG,DB, 分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标 系,如图所示, 则B1,F(1,0,1),(0, 3,2) E,G(0,0,2), ( 1 2, 3 2 ,0) , (1,0,1)B1F (1, 3,1)EF ( 1
5、2, 3 2 ,1)GF 设平面GEF的法向量 n(x,y,z), 则Error!即Error! 取x1,则z1,y,3 故 n为平面GEF的一个法向量,(1, 3,1) 所以 cosn, ,B1F 131 5 5 3 5 所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为 . 3 5 5在正方体ABCD A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二 面角的余弦值为( ) A.B. 1 2 2 3 C.D. 3 3 2 2 解析:选B 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, - 3 - 设棱长为 1, 则A1(0,0,1),E,D(0,1,0), (1,0,
6、 1 2) (0,1,1),A1D ,A1E (1,0, 1 2) 设平面A1ED的一个法向量为n1(1,y,z), 则Error!即Error! Error!n1(1,2,2) 又平面ABCD的一个法向量为 n2(0,0,1), cosn1,n2 . 2 3 1 2 3 即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 . 2 3 6如图,菱形ABCD中,ABC60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,AB2,CF3. 若直线OF与平面BED所成的角为 45, 则AE_. 解析:如图,以O为坐标原点,以OA,OB所在直线分别为x轴,y 轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建
7、立空间直角坐标系 设AEa,则B(0, ,0),D(0,0),F(1,0,3),E(1,0,a),(1,0,3),(0,233OF DB ,0), (1,a)设平面BED的法向量为 n(x,y,z),3EB 3 则Error!即Error! 则y0,令z1,得xa, n(a,0,1), cosn,.OF n |n| a3 a21 10 直线OF与平面BED所成角的大小为 45, , |a3| a21 10 2 2 解得a2 或a (舍去),AE2. 1 2 答案:2 7.如图,已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形,ABCD,且AC BD,AC与BD交于O,PO底面ABCD,PO2,A
8、B2,E,F分别是AB,AP的中点,2 则二面角F OE A的余弦值为_ 解析:以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z - 4 - 轴建立如图所示 的空间直角坐标系Oxyz, 由题知,OAOB2, 则A(0,2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1), (1,1,0),(0, 1,1),OE OF 设平面OEF的法向量为 m(x,y,z), 则Error!即Error! 令x1,可得 m(1,1,1) 易知平面OAE的一个法向量为n(0,0,1), 则 cosm,n. mn |m|n| 3 3 由图知二面角FOEA为锐角, 所以二面角
9、FOEA的余弦值为. 3 3 答案: 3 3 8(2018全国卷)如图,边长为 2 的正方形ABCD所在的平面 与半圆弧C所在平面垂直,M是C上异于C,D的点DD (1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥MABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值 解:(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD, 所以BC平面CMD, 又DM平面CMD,所以BCDM. 因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,CD 所以DMCM. 又BCCMC, 所以DM平面BMC. 因为DM平面AMD, 所以平面AMD平面BMC. (2)以D为坐标原点
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