江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十一空间向量的应用空间角的求法理含解析苏教版.pdf
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1、1 课时跟踪检测(四十一) 空间向量的应用(空间角的求法)课时跟踪检测(四十一) 空间向量的应用(空间角的求法) 一保高考,全练题型做到高考达标 1(2019苏锡常镇调研)如图,已知正四棱锥PABCD中, PAAB 2,点M,N分别在PA,BD上,且 . PM PA BN BD 1 3 (1)求异面直线MN与PC所成角的大小; (2)求二面角NPCB的余弦值 解:(1)设AC,BD交于点O,在正四棱锥PABCD中,OP平面ABCD. 又PAAB 2,所以OP. 以O为坐标原点,方向分别为x轴、y轴正方向2DA AB 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 则A(1, 1,0),B(1,1,0)
2、,C(1,1,0),D(1, 1,0),P(0, 0,),2 (1,1, )AP 2 故,OM OA AM OA 2 3 AP ( 1 3, 1 3, 2 2 3) ,ON 1 3 OB ( 1 3, 1 3,0) 所以,(1,1,),MN ON OM (0, 2 3, 2 2 3) PC 2 所以 cos,MN PC | 3 2 所以异面直线MN与PC所成角的大小为 30. (2)由(1)知(1,1,),(2,0,0),.PC 2CB NC ( 4 3, 2 3,0) 设 m(x1,y1,z1)是平面PCB的一个法向量, 则Error!即Error! 令y1,则z11,即 m(0, ,1)2
3、2 设 n(x2,y2,z2)是平面PCN的一个法向量, 则Error!即Error! 令x22,则y24,z2,即 n(2,4,),22 所以 cosm,n, mn |m|n| 5 2 3 22 5 33 33 故二面角NPCB的余弦值为. 5 33 33 2(2018 启东检测 )如图,在四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC45,PAAD 2,AC1. 2 (1)求二面角APCD的余弦值; (2)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为 30,求AE的长 解:(1)因为PA平面ABCD, 所以PAAD,PAAC, 又因为ACAD,故以A为原点,以A
4、D,AC,AP所在直线为x 轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz, 依 题 意 得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B, ( 1 2, 1 2,0) P(0,0,2) (0,1,2),(2,1,0)PC CD 设平面PCD的法向量 n(x,y,z), 则Error!即Error! 不妨令z1,可得 n(1,2,1), 可取平面PAC的法向量 m(1,0,0) 于是 cos m,n. mn |m|n| 1 6 6 6 由图知二面角APCD为锐角, 所以二面角APCD的余弦值为. 6 6 (2)设点E的坐标为(0,0,h),其中h0,2 由此得,由(2,1,0),B
5、E ( 1 2, 1 2,h) CD 故 cos,BE CD | 3 2 1 2h 2 5 3 1020h2 所以cos 30,解得h,即AE. 3 1020h2 3 2 10 10 10 10 3(2019 南通一调 )如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SA 平面ABCD,AB1,ADAS 2,P是棱SD上一点,且SPPD. 1 2 (1)求直线AB与CP所成角的余弦值; (2)求二面角APCD的余弦值 解 : (1)如图, 分别以AB,AD,SA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空 间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),
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