微分方程稳定性理论简介.ppt
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1、1,6.6 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 (1) 右端不含字变量t,称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它也是(1)的解(奇解).,2,如果存在某个邻域,使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发,满足 (3) 则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定); 否则,称x0是不稳定的(不渐进稳定). 判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解x(t),因而不利用(3)式的方法称直接法. 下面介绍直接法.,3,将f(x)在x0点作Ta
2、ylor展开,只取一次项,方程(1)近似为 (4) (4)称为(1)的近似线性方程,x0也是方程(4)的平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论: 若f (x0) 0,则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的.,4,注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明:记f (x0) = a,则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定,显然,a 0时(3)式成立.,5,二阶方程的平衡点和稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表为 (6) 右端不显含t,是自治方程. 代数方程组 (7) 的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点,记作P0(
3、x10, x20).,6,如果存在某个邻域,使方程(6)的解x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)出发,满足 (8) 则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则,称P0是不稳定的(不渐进稳定).,7,先看线性常系数方程 (9) (非齐次方程组,可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作 (10) 为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定性,假定A的行列式 detA 0 . (11),8,P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程 det(A I) = 0 (12) 的根(特征根)决定. 方程(12)可以写成
4、更加明晰的形式 (13) 将特征根记作1, 2,则 (14),9,方程(9)的一般解具有形式 或 c1, c2为任意常数. (注意:课本p199是否误为 ),10,按照稳定性的定义(8)式可知,当1, 2均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平衡点; 而当1, 2有一个为正数或有正实部时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下1, 2均不为零. 按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则: 若 p 0, q 0,则平衡点稳定; 若 p 0, q 0,则平衡点不稳定. 对一般的非线性方程(6),仍可在平衡点作一次Taylor展开,得常系数的近似线性方程
5、来讨论.,11,6.2 军备竞赛 两个国家或国家集团之间由于相互不信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的军事力量,防御对方可能发动的战争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的一个模型.,12,军备竞赛 (arms race) 军事大国为了实行对外扩张,争夺世界霸权,竞相增加、提高军事装备的数量和质量,并向高技术领域发展的特有过程。第一次世界大战以前,主要在英国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主要在美国、苏联两国之间进行,可分为下列几个阶段:常规武器竞赛。战后美、苏在冷战中大规模加强常规军备。双方不断更新各种武器装备和发展现代技术,以服务于军事、政治目的。核武
6、器竞赛。20世纪70年代,美、苏核武器竞争激烈,结果双方拥有世界核弹头库存总数的97,同时双方在核武器运载工具、多弹头分导等高技术领域的研制投入大量人力和物力。太空武器竞赛。,13,军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 http:/ 加入日期2005-5-24 9:02:37 点击次数: 3 防卫厅消息来源声称过去一年以来,航空自卫队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次数明显增多。它们大半是侦察机。在海上,中国海军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级导弹驱逐舰经常航行在东海海域,目前中国出现的频率超过了俄罗斯海军。,14,李敖:
7、與大陸軍備競賽會拖垮台灣 2005-6-23 【大公網訊】 無黨籍立委李敖23日表示,台灣與大陸軍備競賽是三輪車追汽車,越追越遠,還未與大陸開戰,台灣的經濟就會被拖垮,如同前蘇聯與美國軍備競賽,因經濟崩潰而解體,因此不應購買愛國者三型飛彈等三項軍購。,15,80年代军备竞赛转向太空和其他高技术领域,美国制定的星球大战计划即是例证。军事预算的迅速增长、武器质量性能优势的争夺以及军事战略的不断变化,是美、苏军备竞赛的主要特点。 90年代世界经济不断国际化、各国间相互依存关系的加强,以及由于美、苏政治战略的调整,带来了国际局势的缓和,使军备竞赛的势头趋缓。在实现实质性裁军的同时,美、苏的竞争更多地转
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