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1、2.4离散时间线性非时变系统与差分方程,离散系统的定义 离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统,记为 y(n)=Tx(n) 通常将上式表示成图2-20所示的框图。,图2-20 离散系统的模型,一.离散线性非移变系统及卷积运算(1) 系统的线性特性 满足叠加原理的系统具有线性特性,即若对两个激励x1(n)和x2(n)有,注意: 齐次性 叠加性,例: 设一系统的输入输出关系为 yk=x2k 试判断系统是否为线性? 解:输入信号x k产生的输出信号Tx k为 Tx k=x2k 输入信号ax k产生的输出信号Tax k为
2、Tax k= a2x2k 除了a=0,1情况,Tax k aTx k。故系统不满足线性系统的的定义,所以系统是非线性系统。,例 y(n)Tx(n)=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。,计算Tax1(n)+bx2(n)=5ax1(n)+bx2(n)+3, 而ay1(n)+by2(n)5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b),(2) 系统的非移变特性 时不变(Time-Invatiance) 系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为 Tx(nn0)=y(nn0) 即不管输入信号作用的时间先后,输出信号响应的形状均相同,仅是出现的时间不同,如图2-22 所示。,图2-22 离
3、散系统的非移变特性,在n表示离散时间的情况下,“非移变”特性就是“非时变”特性。 例: 证明y(n)Tx(n)nx(n)不是非移变系统。 计算: Tx(n-k)=nx(n-k),而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。,解:输入信号xk产生的输出信号yk为 yk=T xk= xMk 输入信号xk-n产生的输出信号Txk-n为 Txk-n= xMk-n 由于 xMk-n yk-n 故系统是时变的。,例: 已知抽取器的输入和输出关系为 yk=xMk 试判断系统是否为时不变的?,抽取器时变特性的图示说明,(3) 线性非移变系统: 线性时不变系统,简称为:LTI 线性非移变系统就是既满足迭加原理又具有
4、非移变特性的系统,将其描绘如图2-24所示。,图2-24 线性非移变系统模型,单位取样响应,定义:,例:累加器:,单位脉冲(取样)响应 (Impulse response),LTI系统对任意输入的响应,当任意输入x(n)用前式表示时,则系统输出为,因为系统是线性非移变的,所以,通常把上式称为离散卷积或线性卷积。 这一关系常用符号“*”表示:,二、离散卷积满足以下运算规律: (1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4) 线性卷积(离散卷积)的计算 计算线性卷积有4种方法。 利用两个序列的解析式直接计算。 利用两个序列的移位求和,即先把一个序列倒置。每次将它向下移一步,求出两序列重叠部分乘积之
5、和。 用作图法求。 卷积的Matlab实现,离散卷积的计算,计算卷积的步骤如下: (1)折叠:先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k),将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 (2)移位:将h(-k)移位n,得h(n-k)。当n为正数时,右移n;当n为负数时,左移n。 (3)相乘:将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加:把所有的乘积累加起来,即得y(n)。,上图为:,与,的线性卷积。,计算线性卷积时,一般要分几个区间分别加以考虑,下面举例说明。,例 已知x(n)和h(n)分别为:,和,试求x(n)和h(n)的线性卷积。,解 参看图2. 15,分段考虑如下:,(1)对于
6、n4,且n-60,即46,且n-64,即64,即n10时:,综合以上结果,y(n)可归纳如下:,卷积结果y(n)如图2. 16所示,三.系统的稳定性与因果性 (1) 稳定性 对于一个系统,当输入序列是有界时,其输出也是有界的,则称它是稳定系统。用数学描述则为 如果 x(n)对于一切n 则 y(n)对于一切n,因为 其中假设x(n)M。,2因果性 一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前,则称它是因果的。这就是说对于因果系统,如果取n0 ,当n n0时,x1(n) = x2(n),则n n0时,y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即 h(n
7、)=0 n0 这个充要条件可以从 y(n) x(n)*h(n) 的解析式中导出。,四.线性常系数差分方程,差分的概念与性质,差分方程的概念,一阶常系数线性差分方程,一、差分的概念与性质,一般地,在连续变化的时间的范围内,变量,关于时间,的变化率是用,来刻画的;,对离散型的变量,我们常用在,规定时间区间上的差商,来刻画变量,的变化率.如果取,,则,可以近似表示变量,的变化率.由此我们给出差分的定义.,定义1,设函数,,称改变量,为函数,的差分,也称为函数,的一阶差分,记为,,即,或,一阶差分的差分,称为二阶差分,即,类似地可定义三阶差分,四阶差分,等等.,一般地,函数,的,阶差分的差分称为,阶差
8、分,记为,,即,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.,例1 设,,求,,,,,解,例2 设,求,解 设,,则,.,差分满足以下性质:,(2),(3),(4),(1),例3 求,解 由差分的运算性质,有,.,的差分.,二、 差分方程的概念,定义2 含有未知函数,的差分的方程称为差分方程.,或,差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为 该差分方程的阶。,差分方程的一般形式:,定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.,例如,对于差分方程,,将,代入方程有,故,是该方程的解,易见对任意的常数,都是差分方程,的解.,如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好,等于方程的阶数,则称这个解是差
9、分方程的通解.,定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数 的各阶差分均为一次,则称该差分方程为线性 差分方程. 其一般形式为,其特点是,都是一阶的.,三、 线性常系数差分方程,1、差分方程是由函数序列的差分来表示的。,一个函数序列的一阶向后差分表示为:,二阶向后差分表示为:,引入单位延迟算子D,即Dy(n)=y(n-1)。,二阶向后差分可表示为:,类似地,k阶差分表示为:,线性常系数差分方程的一般形式为:,将方程(2. 22)稍加变换后得:,该式说明,系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1),x(n-2)等有关,还与该时刻以前的输出值y(n-1),y(n-2)等有关。,四、 用差分方程描述系统,差分方程的最大用途是它直接描述了系统结构。 无反馈型(有限冲积响应):,有反馈型(无限冲积响应):,差分方程的特点,采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现。 但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。 实际上用来描述系统多数还是由系统函数。,
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