周期信号的傅立叶级数表示.ppt
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1、第3章周期信号的傅立叶级数表示,本章在讨论复指数信号作为LTI系统特征函数的基础上,引出了时域周期信号可以看作复指数谐波信号的线性组合,即周期信号的频域分析傅立叶级数,给出了周期信号的频谱图表示方法,它与周期信号的时域波形表示是一一对应的。周期信号的傅立叶级数表示是后续展开对非周期信号频域分析的基础。,本章内容: LTI系统的特征函数与特征值; 周期信号的傅立叶级数表示; 周期性矩形脉冲信号的频谱; 傅立叶级数的性质; LTI系统对周期信号的响应。,3.1 历史回顾 1822年,法国科学家傅立叶在研究热传导理论时发表了”热的分析理论”,提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅立叶级
2、数的理论基础. 泊松,高斯等人把这一成果应用到电学中去,得到广泛应用 进入世纪以后,谐振电路,滤波器,正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅立叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中,傅立叶变换法具有很多的优点 快速傅立叶变换为傅立叶分析法赋予了新的生命力,3.2 LTI系统对复指数信号的响应,如果一个LTI系统的单位冲激响应或单位脉冲响应是,或,,当系统的输入是复指数信号,或,,则由时域卷积,系统的输出是:,可得,其中:,是单位冲激响应,和,的积分,也是单位脉冲响应和特征函数的求和,信号的分解,根据系统的线性特性,则系统的输出,复指数信号是唯一能
3、成为一切LTI系统的特征函数的信号, 与之对应的特征值。,对于时域的任何一个信号 或者 ,若能表示成为下列形式:,因为:,利用系统的齐次性和叠加性,则:,同理:,这就是周期信号进行频域分解的基本出发点。,3.3连续时间周期信号的傅立叶级数表示,3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合,该信号集中有无穷多个谐波分量,其中每个信号分量都是 以 为周期的,其公共周期为 且该集合中所有 信号都是彼此独立的。,上式就是 的傅里叶级数,这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号。,即:连续时间周期信号可以分解成无数多个谐波分量。,一般来说,周期信号都可以表示为:,例:,在这一信号中有四个谐波分量, 。
4、,在傅里叶级数中,各个信号分量(谐波分量)间的区别也仅仅是幅度(可以是 复数)和频率不同。因此,可以用一根线段来表示某个分量的幅度,线段的位置表示相应的频率。,3.3.2 连续时间周期信号傅立叶级数表示的确定,当一个给定的信号能表示成级数的形式,就需要一种办法来 确定系数.,若,系数 往往称为频谱系数,是对信号中的每一个谐波分量的大小作出的度量。,如果周期信号 可以表示为傅里叶级数:,则:,两边同时在一个周期内积分,有,所以:,在确定上述积分时,只要积分区间是一个周期即可,对积分区间的起止并无特别要求,因此可表示为:,为傅立叶级数的系数或频谱系数,因为它是对信号 中的每一个谐波分量的大小作出的
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