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1、第15章 电路方程的矩阵形式,重点,关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念 回路电流方程、结点电压方程和割 集电压方程的矩阵形式,15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵,电路的图表征了网络的结构和拓扑,依据电路的图,可以写出网络的KCL和KVL方程。,图的矩阵表示,用矩阵描述图的拓扑性质,即KCL和KVL的矩阵形式。,1. 关联矩阵,一条支路连接两个结点,称该支路与这两个结点相关联,结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。,N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述,ajk=1 支路k与结点j 关联,方向背离结点。,ajk= -1 支路k与结点j 关联,方向指向结点,ajk =0
2、 支路k与结点j无关,每一行对应一个结点,每一列对应一条支路,矩阵Aa的每一个元素定义为:,例,-1 -1 0 1 0 0,0 0 1 -1 -1 0,1 0 0 0 1 1,0 1 -1 0 0 -1,每一列只有两个非零元素,一个是+1,一个是-1, Aa的每一列元素之和为零。,矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出,即只有n-1行是独立的。,关联矩阵Aa的特点:,引入降阶关联矩阵A,设为参考节点,得降阶关联矩阵,设为参考节点,得降阶关联矩阵,注,给定A可以确定Aa,从而画出有向图。,引入关联矩阵A的作用:,设:,用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程,A i =,矩阵形式的KCL: A i =
3、 0,以为参考节点,n-1个独立方程,设:,用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程,2. 回路矩阵B,1 支路j 在回路i中方向一致,-1 支路j 在回路i中方向相反,0 支路j 不在回路i中,一个回路由某些支路组成,称这些支路与该回路相关联,独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。,每一行对应一个独立回路,每一列对应一条支路,矩阵B的每一个元素定义为:,2。支路排列顺序为先树支后连支, 回路顺序与连支顺序一致,若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵Bf,规定: 1。连支电流方向为回路电流方向,例,取网孔为独立回路,顺时针方向,1 2 3,注,给定B可以画出有向图。,选 4、5、6为树,连支顺
4、序为1、2、3。,1 2 3,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,= Bt 1 ,0 1 -1 0 0 1,例,设,矩阵形式的KVL: B u = 0,引入回路矩阵B的作用:,用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程, B u =, Bf u = 0 可写成,Btut+ul=0,ul= - Btut,设,连支电压用树支电压表示,用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程,矩阵形式的KCL: B T il = ib ,Bf= Bt 1 ,树支电流用连支电流表出,独立回路电流,3. 基本割集矩阵Q,每一行对应一个基本割集 每一列对应一条支路,矩阵Q的每一个元素定义为:,1 支路j在割集i中
5、且与割集方向一致,-1 支路j在割集i中且与割集方向相反,0 支路j不在割集中,割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述,这里主要指基本割集矩阵。,规定: (1)割集方向为树支方向 (2)支路排列顺序先树支后连支 (3)割集顺序与树支次序一致,若选单树枝割集为独立割集,得基本割集矩阵Qf,例,选 4、5、6支路为树,Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6,设,矩阵形式的KCL:,引入基本割集矩阵Qf的作用:,用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程,矩阵形式的KCL: Qf ib =0,设树枝电压(或基本割集电压):,ut= u4 u5 u6 T,用QfT表示矩阵形式的KVL
6、方程,矩阵形式的KVL: Qf Tut =ub,连支电压用树支电压表示,Q,Qi=0,QTut=u,小结:,ul= - Btut,A,B,KCL,Ai=0,BTil=i,KVL,ATun=u,Bu=0,对同一有向图,支路排列次序相同时,满足:,在任一网络的有向图中,选一个参考结点可以写出关联矩阵A,选择一树可以写出基本回路矩阵Bf和基本割集矩阵Qf,因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质,它们之间自然存在着一定的关系。,15.3 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系,1. A与B之间的关系,对同一有向图,任选一树,满足:,2. B与Q之间的关系,对同一有向图,任选一树,按先树枝后连枝顺序写
7、出矩阵:,3. A与Q之间的关系,例,已知:,求基本割集矩阵,并画出网络图。,解,15.4回路电流方程的矩阵型式,用阻抗表示的支路方程:,回路电流il (b-n+1)1阶,回路电压源向量,回路阻抗阵,主对角线元素为自阻抗,其余元素为互阻抗。,回路矩阵方程,从已知网络,写出,回路分析法的步骤:,15.5结点电压方程的矩阵形式,1:,2:,3:,4:,矩阵形式为:,一般形式:,Yn :为 电压源支路断开后的电路结点导纳阵,H12:表明每个结点和哪几个纯电压源支路相关联,H21:表明这些支路电压和哪些结点电压相关联,一般形式:,:为电压源支路设定的电流列矢量,为注入结点的电流源列矢量,为电压源支路的电压列矢量,15.6割集电压方程的矩阵形式,以树支电压为未知量,用导纳表示的支路方程,割集导纳矩阵,主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和,总为正;其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。,割集电流源向量,割集矩阵方程,选定一个树,写出,割集分析法的步骤:,
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