解非线性方程组的迭代法.ppt
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1、前面介绍的解线性方程组的直接法是解低阶稠 密方程组的有效方法。但是,在工程技术中常产生 大型稀疏矩阵方程组,例如由某些偏微分方程数值 解所产生的线性方程组Ax=b,A的阶数很大 , 但零元素较多,迭代法是能够充分利用系数矩阵稀 疏性特点的有效算法。,第四章 解线性方程组的迭代法,迭代法的构造,迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求线性方程组的解。 设有方程组 ,将其转化为等价的便于迭代的形式 (这种转化总能实现,如令 )并由此构造迭代公式,其中, 称为迭代矩阵, 称为迭代向量。对任意的初始向量 ,由迭代式可求得向量序列 若 ,则 就是方程组Ax=b的解.,4.1 解线性方程组的三种迭代法 4.1
2、.1雅克比(Jacobi)迭代法(以三阶方程组为例) 设有方程组:,假设,任选一向量X(0)作为解的初值.,则方程组可写为:,代入式(4.1)中得方程组的一次近似.,把X(1) 再代入到(4.1)中得方程组的二次近似.,重复这一过程,假设得到了m次近似X(m)。代入到(4.1)中可得m+1次近似X(m+1)。,称此迭代公式为原方程组的雅可比迭代公式.,对于n阶方程组,则雅可比迭代公式为:,若用矩阵来记录雅可比矩阵,可作如下的推导:,令A=D-L-U,其中,则有AX=DX-LX-UX=b.即DX=b+(L+U)X,从而有DX(m+1)=b+(L+U)X(m).若 则D可逆,于是得,称BJ为雅可比
3、迭代矩阵.这种迭代格式称为雅可比迭代格式。,在某种条件下,按雅可比迭代所产生的向量序列的极限会存在,且等于原方程组的解。这种求解方法被称为雅可比迭代法,或简单迭代法。,定义4.1 如果向量序列X(m)=(x1(m) , x2(m) , xn(m) 有 xi(m) xi* (i=1,2,3,n) (m ) 则称向量X*=(x1*,x2*,xn*)为向量序列X(m)的极限,记为:,例 用简单迭代法解下列方程组,解将方程组写成等价形式,取初始值x(0)= 0,按迭代公式,4.1.2 高斯赛德尔迭代法,对雅可比迭代法作如下的改进:将初值 代入4.1的第一个方程可得 ,用 代入第二个方程得 ,用 代入第
4、三个方程得 , 这样一直做下去,直到得到满意的解为止.之所以作这样的改进是希望更快的得到近似解.,这种迭代的方法用公式写出来就是:,对给定的初值,用此迭代公式求线性方程组的方法被称为高斯塞德尔迭代法。(GS),一般地,对n阶线性方程组的迭代格式改为:,用矩阵表示此方法为:,即:,称BG为高斯塞德尔迭代矩阵,例 用赛德尔迭代法解方程组,解 将原方程组写成等价形式并按(375)构造赛德尔迭代公式,例1:分别用两种迭代法求下列线性方程组。初值均取(0,0,0)T,解:用matlab解,程序如下,%用雅可比法解P91例1 a=9,-1,-1;-1,8,0;-1,0,9; D=-(a-triu(a)-t
5、ril(a); L=-(tril(a)-b); U=-(triu(a)-b); xo=0;0;0;bo=7;7;8; ep=0.0001;dx=1;k=0; while dxep k=k+1; x=D(L+U)*xo+Dbo; dx=abs(norm(x)-norm(xo); xo=x; end k,x,%用G_S法解P91例1 a=9,-1,-1;-1,8,0;-1,0,9; D=-(a-triu(a)-tril(a); L=-(tril(a)-b); U=-(triu(a)-b); xo=0;0;0;bo=7;7;8; ep=0.0001;dx=1;k=0; while dxep k=k+
6、1; x=(D-L)U*xo+(D-L)bo; dx=abs(norm(x)-norm(xo); xo=x; end k,x,在多数情况下用高斯赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快。但也有相反的情况,即高斯赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛慢,甚至还有雅克比迭代法收敛,高斯赛德尔迭代法发散的情形。,4.1.3 超松弛迭代法,弛迭代法是高斯赛德尔迭代法的一种改进,是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一. 现在研究如何求向量 首先,由高斯赛德尔迭代法求出一个值,记,首先,由高斯赛德尔迭代法求出一个值,记,用此公式求解线性方程组的方法称为带有松弛因子的松弛迭代法. 当1时称为超松弛迭代法;(SOR法) 当1时
7、称为低松弛迭代法; 当=1时就是GS迭代法. 当某些方程组用高斯赛德尔迭代法不收敛时,可以用低松弛方法获得收敛,,将上式写成矩阵的形式,得: 于是得SOR迭代的矩阵表示,例 用SOR法求解方程,%用SOR法解P96例2 a=4,-2,-4;-2,17,10;-4,10,9; D=-(a-triu(a)-tril(a); L=-(tril(a)-D); U=-(triu(a)-D); xo=0;0;0;bo=10;3;-7;omiga=1.46; ep=0.000001;dx=1;k=0;,while dxep k=k+1; x=(D-omiga*L)(omiga*U+(1-omiga)*D)*
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- 非线性 方程组 迭代法
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