第三章傅立叶变换1.ppt
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1、第三章 傅立叶变换 频域分析,1822年,法国数学家傅立叶提出了 :“一个周期函数可以展开成无穷多个不同频率的正弦函数的叠加” 。,3. 2 周期信号的傅立叶级数分析,一. 三角函数形式的傅立叶级数:,若 f(t)是以 T1 为周期的信号, 则其傅立叶级数展开式为:,1. 一般形式:,其中系数a0、an及bn的确定如下:,其中,n = 1, 2, ,此外,a0、an及bn又分别称为“ 直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度”。,2. Dirichlet 条件:,当周期信号 f(t) 满足以下条件时,才能进行傅立叶级数展开,(1) 在一个周期内, f(t) 的间断点数目有限;,(2) 在一个周
2、期内, f(t) 的极值数目有限;,(3) 在一个周期内, f(t) 绝对可积, 即,3. 简化形式:,(1) 余弦形式,关系:,(2) 正弦形式,关系:,另外,4. 建立 “频谱” 的概念:, 基 频 频率 f1=1/T1 ,基 波 频率为基频的分量,称为 “基波” 。, 谐 波 频率 2f1 , 3f1 , , nf1 , , 的分量 ,分别称为“二次谐波、三次谐波”。, 幅度谱是指将幅度值(如cn)作为函数、频率作为自变量,绘制的关系曲线。, 相位谱是指将相位值(如 )作为函数、频率作为自变量,绘制的关系曲线。,5. 周期信号频谱的特点:,“谱线” 的概念在幅度谱中, 每条线的高度代表该
3、频率分量的幅度大小, 称为谱线.,特点 周期信号的频谱是离散谱 ! 其频谱只会出现在 =0、1、21等离散的频率位置上。,例:某周期信号如图所示,试求其傅立叶级数,及幅度谱和相位谱。,解:,或者是: ;,最后,求其幅度谱和相位谱:,=,0,二、指数形式的傅里叶级数,周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式 已知,1、根据欧拉公式得:,把上式代入已知中得:,令,为指数形式傅里叶级数的系数,简称为,为复数形式,2、重要关系(Fn与其他系数的关系) 见书92页,3、指数形式表示的信号频谱 见图93页,4、帕赛瓦尔定理能量守恒定理,平均功率 利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性,周期信号的
4、平均功率是三角形式的傅里叶级数,或者是指数形式的傅里叶级数, 两边平方,并在一个周期内进行积分,上式表明:周期信号的平均功率傅里叶级数展开直流成分,基波及各谐波分量 有效值的平方和,也即时域和频域的能量守恒称帕赛瓦定理(或方程),三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性,使表达式变的简单地。,波形的对称性有两类:1、对整个周期对称有偶函数和奇函数 2、对半周期对称有奇谐函数,对称条件: (1)、偶函数:若信号波形相对于纵轴是对称的,即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数,上式关系得,1、偶函数的Fn为实数。 2、偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项
5、为0,只可能含有直流项 和余弦项。,(2)、奇函数:若信号波形相对于原点是对称的,即满足f(t)=f(-t), 此时f(t)是偶函数,上式关系得,1、只有正弦分量。 2、奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项。,(3)、奇谐函数:若信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下反转,此时波形并不发生变化,即满足f(t)=f(tT1/2),这样函数为奇谐函数或称为半波对称函数 如图P96 35奇谐函数,上式表明,当f(t)为实奇谐函数时,实奇谐函数的傅里叶级数中,没有直流分量,不含偶次谐波项,只含有基波和奇次谐波的正弦,余弦项,而不会包含偶次谐波项。,四. 傅立叶有限项级数与最小方均误差:,
6、1. 方均误差EN:,假设,用SN(t)表示 f(t) 的前2N+1项级数,即,若用SN(t) 近似表示 f(t),则误差为:,方均误差为:,经过整理,可得:,例:,f(t) 既是偶函数、又是奇谐函数,只有直流项和余弦项,无直流项,只有基波和奇次谐波的正弦、余弦项,只有基波和奇次谐波的余弦项 !,且,=,考察其有限项级数 SN:,S1=,S2=,S3=,分别用S1 、S2、 S3来近似表示原函数 f(t) , 波形示意图见教材 P99 。,相应的方均误差EN:,结论:, 有限项级数的项数N取得愈多、则波形愈逼近原信号f(t), 且EN愈小。当n时,SN(t)=f(t) 。, 当f(t)是脉冲信
7、号时, 其傅立叶级数中的高频分量主要影响的是它的跳变沿;低频分量主要影响脉冲顶部的形状。换言之,信号f(t)的波形变化越剧烈、它所包含的高频分量越丰富;变化越缓慢、则所含低频分量越丰富。, 当用有限项级数愈逼近原信号f(t)时, 如果其中任一频谱分量的幅度或相位发生变化时,则最后叠加形成的输出波形会失真。,2. 吉布斯现象:,二. 周期锯齿脉冲信号:,奇函数 f(t) 的傅立叶系数 a0、an都为0,利用积分结果:,则,结论 周期锯齿脉冲信号的频谱中,不包含直流分量和余弦分量,只有正弦分量;而且,各次谐波的幅度以 的规律收敛。,三. 周期三角脉冲信号:,f(t)是偶函数, 故其的正弦分量的系数
8、 bn=0。, ,利用积分结果:,则 =,且 =0,,从而,结论:周期三角脉冲的频谱只含有直流、基波和奇次谐波的余弦项。且谐波的幅度以 的规律收敛。,3.4 傅立叶变换, 非周期信号的频谱分析方法,一. 定义的引出:,0 1 ,-T1 0 T1 2T1,0 T1,0 1 ,0 t,可以发现:,当T1时,谱线的间隔1, 离散谱谱线变密;当T1无穷大时, 谱线的间隔1 无限小, 离散谱就变成了连续谱。,的值0, 因此,不能再用 作为非周期信号频谱的度量指标。,但同时应注意到:,当T1无穷大时:,d,离散频率变量 n1,连续频率变量 ,有限的数值,又,=,原周期信号的傅立叶级数,当 T1时:,T1,
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