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1、第二十二章 二次函数,九年级上册,知识梳理,类型一:二次函数的平移 【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( ) A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3 D.y=3(x-2)2-3,类型归纳,【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3.,类型归纳,【主题升华】 二次函数平移的两种方法 1.确定顶
2、点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离. 2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h左加右减,k上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.,类型归纳,类型二:二次函数的图象及性质 【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:ab4a;0-1时,y0.其中正确结论的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个,类型归纳,【自主解答】选B.对称轴在y轴右侧,- 0, 0,b24a,正确;当x=1时,图象在x轴上方, a
3、+b+c0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,图象的开 口向下,a-1时,函数图象有部分在x轴上 方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y0,y=0,y0都有可能. 所以正确的共有4个,选B.,类型归纳,【主题升华】,类型归纳,类型三:二次函数与方程、不等式 【主题训练3】(贺州中考)已知二 次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示, 给出以下结论:b24ac;abc0;2a-b =0;8a+c0;9a+3b+c0,其中结论正确 的是 .(填入正确结论的序号),类型归纳,【自主解答】抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴有两个交点, 一元二次方程ax2+bx
4、+c=0(a0)有两个不相等的实数根, b2-4ac0,即b24ac,是正确的. 抛物线的开口方向向上,a0; 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,c0,a与b异号,则b0,是正确的.抛物线的对称轴x= =1, b=-2a,2a+b=0,是错误的.,类型归纳,当x=-2时,y=4a-2b+c0,又b=-2a, 4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c0,是错误的. 抛物线的对称轴为直线x=1,在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,x=3时的函数值y=9a+3b+c0,是正确的. 答案:,类型归纳,【主题升华】 二次函数与方程、不等式的关系 1.二次函数与方
5、程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0. 2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c0.,类型归纳,类型四:二次函数的应用 【主题训练4】(武汉中考)科幻小说实验室的故事中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).,类型归纳,由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求
6、出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?直接写出结果.,类型归纳,【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 根据题意,得 y关于x的函数解析式为y=-x2-2x+49. 不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y不是x的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y不是x的一次函数.,类型归纳,(2)由(1)得y
7、=-x2-2x+49,y=-(x+1)2+50. a=-10,当x=-1时y的最大值为50. 即当温度为-1时,这种植物每天高度增长量最大. (3)-6x4.,类型归纳,【主题升华】 解决二次函数应用题的两步骤 1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模. 2.应用:利用二次函数的性质解决问题.,类型归纳,(2016浙江省绍兴市10分)课本中有一个例题:有一个窗户形状如图1,上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大? 这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2我们如果改变这个窗户的
8、形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题: (1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积? (2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后 ,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明,典例精析,【解析】(1)根据矩形和正方形的周长进行解答即可; (2)设AB为xcm,利用二次函数的最值解答即可,解:(1)由已知可得:AD= , 则S=1 m2, (2)设AB=xm,则AD=3- m, , , 设窗户面积为S,由已知得: , 当x= m时,且x= m在 的范围内 , , 与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大,典例精析,本课小结,1.引导学生整
9、理把握本章知识点并熟练掌握。 2.结合知识点进行归纳总结; 3.灵活应用知识点。,1.(茂名中考)下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是( ) A.y=3x2+2 B.y=3(x-1)2 C.y=3(x-1)2+2 D.y=2x2 【解析】选D.函数y=3x2的图象平移后,二次项系数仍然是3,不可能变为2,所以D选项中二次函数的图象不能通过函数y=3x2的图象平移得到.,随堂检测,2.(衢州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为( ) A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0
10、C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2,随堂检测,【解析】选B.平移后的顶点为(1,-4),根据平移前后是相反的 过程可知(1,-4)向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到y=x2+bx+c的顶点为(-1,-1),所以原抛物线的解析式y=(x+1)2-1,化成一般形式为y=x2+2x,故b=2,c=0.,类型归纳,3.(长沙中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列关系式错误的是( ) A.a0 B.c0 C.b2-4ac0 D.a+b+c0,随堂检测,【解析】选D.,随堂检测,4.(陕西中考)已知两点A(-5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a0)
11、上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y1y2 y0,则x0的取值范围是( ) A.x0-5 B.x0-1 C.-5x0-1 D.-2x03,随堂检测,【解析】选B.y1y2y0,抛物线开口向上,且对称轴不可能 在A点的左侧;若对称轴在B点或其右侧,此时满足题意,则有 x03;若对称轴在A,B两点之间,当y1=y2时,有x0=-1,当y1y2时, 应有x0 ,即3x0-1,综上可得x0的取值范围是x0-1.,随堂检测,5.(绵阳中考)二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示,给出下列结论:2a+b0; bac;若-1mn1,则m+n ; 3|a|+|c|2|b|.其中正确的结论是 (写
12、出你认为正确的所有结论序号).,随堂检测,【解析】对称轴x= 1,所以b2a,即2a+b0,故正 确;抛物线开口向下,a0,与y轴交于负半轴,c0,对称 轴x= 0,b0.根据图象无法确定a与c的大小,故不 正确;因为1mn1, 1,而对称轴x= 1,所以 ,即m+n ,故正确;因为x=1时, a+b+c0,而2a+b0,2a+b+a+b+c0,所以3|a|2|b| +|c|=3a2bc=-(3a+2b+c)0,即3|a|+|c|2|b|,故 正确. 答案:,随堂检测,6.(仙桃中考)2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼 杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运 动路线
13、可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛 球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系 则羽毛球飞出的水平距离为 m.,随堂检测,【解析】令y=0,得: 解得:x1=5,x2=-1(不合题意,舍去),所以羽毛球飞出的水平距离为5 m. 答案:5,随堂检测,7.(鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系. (1)试求y与x之间的函数关系式. (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?,随堂检测,【解析】(1)由题意,可设y=kx+b(k0),把(5,30000),(6,20000)代入得 所以y与x之间的关系式为:y=-10000x+80000. (2)设每月的利润为W,则W=(x-4)(-10000x+80000) =-10000(x-4)(x-8)=-10000(x2-12x+32) =-10000(x-6)2-4=-10000(x-6)2+40000. 所以当x=6时,W取得最大值,最大值为40000元. 答:当销售价格定为每件6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40000元.,随堂检测,
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