全国通用2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.3数学归纳法课件.ppt
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1、13.3 数学归纳法,第十三章 推理与证明、算法、复数,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取 (n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设当nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,知识梳理,第一个值n0,nk1,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1时结论成立.( ) (2)所有与正整
2、数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由nk到nk1时,项数都增加了一项.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”,验证n 1时,左边式子应为122223.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,n03.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P99B组T1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时,第一步检验n等于 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,解析
3、 凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n3.,3.P96A组T2已知an满足an1 ,nN*,且a12,则a2_,a3_,a4_,猜想an_.,答案,1,2,3,4,5,6,n1,3,4,5,解析,答案,题组三 易错自纠 4.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1,nN*),在验证n1时,等式左边的项是 A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,1,2,3,4,5,6,解析 当n1时,n12, 左边1a1a21aa2.,则上述证法 A.过程全部正确 B.n1验证得不正确 C.归纳假设不正确 D.从nk到nk1的推理不正确,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 在nk1时,没有应
4、用nk时的假设,不是数学归纳法.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,6.用数学归纳法证明1232n2n122n1(nN*)时,假设当nk时命题成立,则当nk1时,左端增加的项数是_.,2k,解析 运用数学归纳法证明 1232n2n122n1(nN*). 当nk时,则有1232k2k122k1(kN*),左边表示的为2k项的和. 当nk1时,则 左边1232k(2k1)2k1,表示的为2k1项的和,增加了2k12k2k项.,题型分类 深度剖析,1.用数学归纳法证明:,题型一 用数学归纳法证明等式,自主演练,证明,证明 (1)当n1时,,左边右边,所以等式成立. (2)假设当nk (kN*且k1
5、)时等式成立,即有,所以当nk1时,等式也成立, 由(1)(2)可知,对于一切nN*等式恒成立.,证明,求证:f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2,nN*).,证明 (1)当n2时,左边f(1)1,,(2)假设当nk(k2,kN*)时,结论成立,即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1, 那么,当nk1时, f(1)f(2)f(k1)f(k) kf(k)1f(k)(k1)f(k)k,(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1, 当nk1时结论成立. 由(1)(2)可知当n2,nN*时,f(1)f(2)f(n1)nf(n)1.,用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取
6、值并验证当nn0时等式成立. (2)由nk证明nk1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法:因式分解;添拆项;配方法.,题型二 用数学归纳法证明不等式,师生共研,证明,典例 设实数c0,整数p1,nN*. (1)证明:当x1且x0时,(1x)p1px;,证明 当p2时,(1x)212xx212x,原不等式成立. 假设当pk(k2,kN*)时,不等式(1x)k1kx成立. 则当pk1时, (1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx) 1(k1)xkx21(k1)x. 所以当pk1时,原不等式也成立. 综合可得,当x1,且x0时, 对一切整数p1,不等式(1x)p
7、1px均成立.,证明,则当nk1时,,则xpc,,数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)关键:由nk时命题成立证nk1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,证明,跟踪训练 (2018衡水调研)若函数f(x)x22x3,定义数列xn如下:x12,xn1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn)(nN*)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2xnxn13.,证明 当n1时
8、,x12,f(x1)3,Q1(2,3). 所以直线PQ1的方程为y4x11,,即n1时结论成立. 假设当nk(k1,kN*)时,结论成立,即2xkxk13.,代入上式,令y0,,即xk1xk2,所以2xk1xk23, 即当nk1时,结论成立. 由知对任意的正整数n,2xnxn13.,题型三 归纳猜想证明,多维探究,解答,命题点1 与函数有关的证明问题 典例 (2018梅州质检)设函数f(x)ln(1x),g(x)xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN*,求gn(x)的表达式;,下面用数学归纳法证明.,假设当nk(k1,k
9、N*)时结论成立,,则当nk1时,gk1(x)g(gk(x),由可知,结论对nN*成立.,(2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.,解答,当a1时,(x)0(当且仅当x0,a1时等号成立), (x)在0,)上单调递增. 又(0)0, (x)0在0,)上恒成立,,当a1时,对x(0,a1,有(x)0, (x)在(0,a1上单调递减, (a1)1时,存在x0,使(x)0,,综上可知,a的取值范围是(,1.,命题点2 与数列有关的证明问题 典例 (2018东营模拟)设数列an的前n项和为Sn,并且满足2Sn , an0(nN*).猜想an的通项公式,并用数学归纳法加以证明.,解答,解
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