全国通用2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形的综合应用课件.ppt
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1、4.7 解三角形的综合应用,第四章 三角函数、解三角形,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,实际测量中的常见问题,知识梳理,实际问题中的常用术语 1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线 叫仰角,目标视线在水平视线 叫俯角(如图).,【知识拓展】,上方,下方,2.方向角 相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏西45等.,3.方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).,正北,4.坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比.,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(
2、请在括号中打“”或“”) (1)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为 .( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) (4)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是 .( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P11例1如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B两点的距离为_ m.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6
3、,3.P13例3如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30,沿倾斜角为15 的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60,则山高h _米.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析 由题图可得PAQ30, BAQ15,PAB中,PAB15, 又PBC60,,1,2,3,4,5,6,BPA(90)(90)30,,题组三 易错自纠 4.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角是70,则BAC等于 A.10 B.50 C.120 D.130,答案,1,2,3,4,5,6,5.如图所示,D,C,B三点在地面的同一条直线上,DCa,从C,D两 点测得A点的仰角分别为60,30
4、,则A点离地面的高度AB_.,解析,答案,解析 由已知得DAC30,ADC为等腰三角形,AD a,所以在RtADB中, .,1,2,3,4,5,6,6.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30,风速是20 km/h;水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_,速度的大小为_ km/h.,解析,答案,解析 如图,AOB60,由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200,故OC ,COy303060.,1,2,3,4,5,6,60,题型分类 深度剖析,1.(2018吉林
5、长春检测)江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距_m.,解析,答案,题型一 求距离、高度问题,自主演练,解析 如图, OMAOtan 4530(m),,在MON中,由余弦定理得,,2.(2017郑州一中月考)如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为,在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h,则 山高CD_.,解析,答案,解析 由已知得,BCA90,ABC90,BAC,CAD.,3.(2018日照模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在
6、北偏东60的方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15的方向上,这时船与灯塔的距离为_ km.,解析,答案,解析 如图,由题意知,BAC30,ACB105,,求距离、高度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,典例 如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直
7、线CB 前往B处救援,则cos 的值为_.,题型二 求角度问题,师生共研,答案,解析,解析 在ABC中,AB40,AC20,BAC120, 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800,,解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.,跟踪训练 如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上,则灯塔A在
8、灯塔B的_的方向上.,答案,解析,北偏西10,解析 由已知ACB180406080, 又ACBC,AABC50,605010, 灯塔A位于灯塔B的北偏西10的方向上.,典例 (2018石家庄模拟)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,(2ac)cos Bbcos C0. (1)求角B的大小;,解答,题型三 三角形与三角函数的综合问题,师生共研,解 因为(2ac)cos Bbcos C0, 所以2acos Bccos Bbcos C0, 由正弦定理得2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0, 即2sin Acos Bsin(CB)0, 又CBA,所以sin(CB
9、)sin A. 所以sin A(2cos B1)0. 在ABC中,sin A0,,(2)设函数f(x)2sin xcos xcos B cos 2x,求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值.,解答,三角形与三角函数的综合问题,要借助三角函数性质的整体代换思想,数形结合思想,还要结合三角形中角的范围,充分利用正弦定理、余弦定理解题.,跟踪训练 设f(x)sin xcos xcos2 . (1)求f(x)的单调区间;,解答,(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 0,a1,求ABC面积的最大值.,解答,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航
10、行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.,典例 (12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?,函数思想在解三角形中的应用,思想方法,思想方法指导,规范解答,思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时,可以设出第三边,利用余弦定理列方程求解;对于三角形中的最值问题
11、,可建立函数模型,转化为函数最值问题解决.,规范解答,解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则 1分,(2)设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2400900t222030tcos(9030), 8分,此时,在OAB中,有OAOBAB20. 11分 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时. 12分,课时作业,1.(2018武汉调研)已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得ABC120,则A,C两地间的距离为,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示,由余弦定理可得
12、,AC210040021020cos 120700,AC .,解析,答案,2.(2018襄阳模拟)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东80 D.南偏西80,解析 由条件及图可知,ACBA40, 又BCD60,所以CBD30, 所以DBA10, 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.,3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯
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