第04章正弦稳态分析.ppt
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1、第四章 正弦稳态分析,在线性电路中若激励以同一频率正弦规律变化,且电路已工作在稳定状态时,则相应的响应也以同一频率正弦规律变化,只是幅值和相位不同。这种电路称为正弦交流电路,对其规律的分析为稳态分析。正弦稳态分析在实际系统中应用极为广泛。,第一节 正弦量及其描述,一正弦量的时域表示,1周期T 频率f 和角频率,2相(位)角、初相(角)与相位差,称为初相角或初相,为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离,规定 | 。 =0的正弦量可视为参考正弦量。,相位差:两同频率正弦量的相位角之差。等于它们的初相之差(与t无关的常数)。,ui 0(u i ):称u相位超前于i或称i相位滞后于u ;,ui0(
2、u i ):称u相位滞后于i 或称i相位超前于u;,ui =0 (u =i ):称u与i 同相 ;,ui =: 称u与i反相 ;,ui =(2) 称u与i正交。,例:指出下列几种情况下的相位差是否正确?,2、,3振幅(幅值、最大值)与有效值(effective value),有效值:若一周期性电流i在一个T内流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间内流过同样R所作的功,则I就定义为i的有效值。,有效值即方均根值,瞬时值为小写字母如i, u;最大值为: Im, Um;有效值为: I, U。,3、,表示u1超前u2(-165。),即u1落后u2165。,正弦量的有效值,交流表指示值、铭
3、牌额定值通常指有效值(如220V);而耐压值、冲击值往往指最大值。 Um =311V,二正弦量的相量表示,1、正弦交流电路分析时必然涉及正弦量的运算,解:直接用三角函数进行:,上述运算较复杂。若遇乘、除法则更复杂。观察到u的与u1 、u2相同,只是振幅与初相这两个要素不同。将复数与正弦量建立某种联系,可使之运算得到简化。,2、正弦量与复数的关系,复数(复习),(1)复数的表示法,.代数式(直角坐标式),. 极坐标式(电路分析中常用),(2)代数式与极坐标式间的相互转换,由欧拉公式将复指数函数展开:,(3)复数的四则运算,相等:两复数的实部和虚部分别相等。,加减:,加减运算也可以用平行四边形法则
4、或多边形法则在复平面上用作图法进行。,乘、除:,用相量来表示正弦量, 正弦量为一复数的实部,称为正弦量i的有效值相量(phasor)。,大写字母I 上加小圆点是为了使之与有效值I 相区别,相量不同于一般的复数,是针对正弦电流i或正弦电压u而言的复常数,反映其幅值和相位。,为旋转矢量,ejt为按角速度逆时针旋转的旋转因子,为此旋转矢量在实轴上的投影(即该时刻电流i的瞬时值),相量与正弦量一一对应。给定了正弦量,就可写出其相量;反之, 给定相量及,就可写出其正弦量。,解:,4正弦量运算与相量运算的对应,同频率正弦量相加(减)对应为相量的加(减)。,解:,可见相量计算比三角函数法计算简便。,DRG显
5、示“DEG”2ndF CPLX 5 a 30 b 2ndF xy + 10 a 60 b 2ndF xy =显示“9.33” b 显示“11.16” 2ndF r显示“14.55” b 显示“50.1”,例2:(5+j4) (6+j3)=18+j39,2ndF CPLX 5 a 4 b 6 a 3 b =显示“18” b 显示“39”,相量图:相量在复平面上的图称为相量图。 将几个表示同频率的正弦量的相量画在一个相量图上,可直观、清楚地看出它们的相位关系,还能用几何、三角方法求出待求量,这给计算带来方便。,例3:,3 +/- a 4 +/- b 2ndF r 显示“5” b 显示“-126.8
6、698”,例4: 10 -60 =5-j8.66,10 a 60 +/- b 2ndF xy 显示“5” b 显示“-8.66”,正弦量的微分与积分计算,正弦量求导与相量j对应,振幅为原来的倍,初相增加90。,正弦量积分与相量j对应,振幅为原来的1/倍,初相减小90。,同理,正弦稳态下R、L、C 等元件的VCR涉及建立正弦量微分方程,由以上可知微分方程可对应为相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用比较简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程,首先要确定电路元件的相量模型及VCR的相量形式。,第二节 电阻、电感和电容的相量形式的VCR,一、R元件:,当UL 一定时,L越大,IL 就越小,XL =L
7、 称为感抗,量纲L=VA=, 越大,XL 越大,高频信号就越难以通过L;=0,XL =0, 直流下L可等效为短路.,二、L元件:,三、C元件:,UC 一定时1C越大,IC 就越小,XC = -1C称为容抗。,量纲1C=VA=, 越大,即XC 越小时,高频信号就越容易通过C;=0,即XC 时,直流情况下C可等效为开路.,第三节 电路定律的相量形式 复阻抗与复导纳,一、KCL、KVL的相量形式,二、复阻抗、欧姆定律的相量形式,线性无源一端口网络端口电压相量与电流相量之比称为其等效复阻抗Z (complex impedance),欧姆定律的相量形式。,对R、L、C元件,有:,Z是普通的复数,不是相量
8、,Z上方不打圆点,Z的两种坐标形式:,极坐标形式:Z=|Z|Z,代数形式:Z=R + jX,Z、|Z|、R、X的量纲皆为,且满足“阻抗三角形”,N个复阻抗串联:,复数形式的分压公式。,阻抗“性质”:,X=0(Z = u i =0): , 同相,N0呈电阻性(谐振状态),X0(Z =u-i 0): 滞后于 ,N0呈(电)容性,X0(Z =u-i 0): 超前于 ,N0呈(电)感性,例1:图示电路已知: ,试求正弦稳态下的i 、uR 、uL 与uC ,并作相量图。,建立电路的相量模型如图,其中:,讨论:,串联电路以电流相量为参考作相量图比较方便;并联电路以电压相量为参考作相量图比较方便。,i)对R
9、LC串联正弦稳态电路有:,的电压相量与电容上的电压相量反相,彼此抵消之故;,iii) Z代数形式所对应的“串联模型”的阻抗与其电压相似:,ii) UL =240V,UC =160V,都大于电源电压U =100V(DC 电路不会如此),这是由于电感上,三、复导纳Y (complex admittance),线性无源一端口网络端口电流相量与电压相量之比称为等效复导纳。,Y代数形式所对应的“并联模型”的导纳与其电流相似:,其中Y、|Y|、G、B的SI量纲皆为西门子(S).,Y与Z的关系,(1)显然有:,得:,(2)且由:,注意:当Z 0时,上式中的G1/R,|B|1/| X |且B与X异号。,反映了
10、Y并联模型参数与Z串联模型参数之间的关系,对应得:,Y的“性质”:,B=0(Y=i-u=0), 、 同相,N0呈电阻性(谐振状态);,B0(Y =i-u 0), 滞后于 ,N0呈(电)容性;,B0(Y =i-u 0), 超前于 ,N0呈(电)感性。,单个R、L、C元件的复导纳,BL为感纳,BC为容纳。,N个导纳并联的分流公式,由于Z(j)是随频率而变的,因此不存在一个适用于所有频率的具体等效电路。在一定频率下,可得到一个只适用于该频率的等效电路,上述等效变换也就是在一定频率下得到的,这一等效电路也只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。,例如:,若改变,则G,L数值也随之改变,例2: 已知R=2
11、000,f=400Hz,要使 与 相位差为 求:L?,解:先作相量图,例3:图示电路,is(t)为正弦电流源,其=1000rad/s,调节C=1F时, is(t)与其端电压u(t)同相,此时电压表V1的读数为30V,V2的读数为40V。求:R和L的值?,解:,第四节 正弦稳态功率,一、瞬时功率p(instantaneous power),则网络N吸收的瞬时功率:,图中u、i 对N而言为关联方向,若设:,以感性电路( 0)为例,电路的u,i,p的波形如图:,其物理意义为:,p的恒定分量(算术平均值) P = UI cos 反映了N消耗的平均功率;,p0时,外电路能量一部分被N内R所消耗,另一部分
12、L、C储能;,p0时,N内L、C 释放的能量R所消耗,另一部分外电路;,| 越接近于/2,则阴影部分就越接近于半个周期,P = UI cos就越接近于0,即与外电路能量交换的规模就越大。,瞬时功率的实用意义不大,平均值才能反映网络实际吸收的功率。,二、平均功率P(average power)、功率因数( power factor),= cos称为功率因数,称为功率因数角(N无源时的阻抗角)。,反映了N的平均耗能速率,亦称为有功功率(active power) 。,R、L、C元件的功率表达式如下:,三、无功功率Q(reactive power),为了反映能量交换的情况,引入:,规定其SI单位为:
13、Var(乏,无功伏安)。,当 0,感性电路,Q0,,对单个电感来说, “吸收”无功功率;,当 0,容性电路,Q0,,对纯电容而言, “发出”无功功率;,无功功率表示电路中储能元件,其储存的能量与外部电路来回交换的情况。它与有功功率在耗能这个角度上说,有着本质的差别:有功功率表示电路实际所消耗的功率,电能转变成热能等其它形式的能量消耗掉了,而无功功率并不表示单位时间所作的功,它仅表示储能元件与外电路(电源)之间能量的来回交换,在其过程中本身并不耗能。,无功功率正、负的含义:,正”吸收”,电能(电源或电容储能)磁场能量储存;,负”发出”,电容储能外电路(电源或电感储能);,四、视在功率S(appa
14、rent power),实际用电设备的容量取决于其工作的额定值UN 、IN (有效值),可用“视在功率”来表征这种容量:,S =UI S的量纲也是W,但规定其SI单位为“伏安”(VA),而负载(用电设备)真正从电源处所获得的功率是在S =UI的基础上打了一个折扣:P =UI cos= S,S也称为表观功率。,讨论:,1、Z代数形式所对应串联模型的阻抗电压与功率相似:,2、Y代数形式所对应并联模型的导纳、电流与功率相似:,3、为了区分正负时,常在后面附加“滞后”或“超前”字样。“滞后”指i滞后于u(感性);“超前”指i超前于u(容性).,五、复功率 (complex power),功率平衡(VA
15、),1.复功率,(2)对于无源网络的串联等效模型Z = R + j X ,有:,(3)对于无源网络的并联等效模型Y = G + j B ,有,于是有(1),2复功率平衡:设网络共有b条支路,电压电流取关联方向则:,电路中复功率具有守恒性,即某些元件(支路)发出的复功率恒等于另一些元件(支路)吸收的复功率。也可以说成电路中总的有功功率是各部分有功功率之和,总的无功功率是各部分无功功率之和,但是总的视在功率并不是各部分视在功率之和。,例:三表法测线圈交流参数R和L,解:,六、功率因数(=cos)的提高,原因,由于电力系统的负载多为感性负载(如日光灯、电机、电扇等),故提高的方法:在感性负载的“附近
16、”(如某单位的变电所)并联适当的电容。不会影响原负载的工作状态(电压电流不变)。,通过例子说明:提高功率因数的方法,例:原电路P =10kW,U=220V,cos1 =0.6(感性)。如何使电路的cos提高到0.9?,解:i)并联电容后相量图定性分析如图:小于1,可见功率因数提高了;原负载电路的电压、电流的大小和相位不变(负载工作状况不变);而总电流(输电线路)I明显小于I1 。,ii ) 由cos1提高到cos所需C的公式推导:,并联电容不改变整个电路的P,只改变其无功(无功补偿)而Q由P tg1= QL变为P tg=QL + QC = P tg1 CU 2 ,,iii ) 此例题正常求解的
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- 04 正弦 稳态 分析
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