中国科学技术大学概率论与数理统计课件.ppt
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1、5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 5.3 小结,第五章 大数定律与中心极限定理,5.1 大数定律,讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义; 给出几种大数定律: 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.,常用的几个大数定律,大数定律一般形式:,若随机变量序列Xn满足:,则称Xn 服从大数定律.,切比雪夫大数定律,定理5.1.1,Xn两两不相关,且Xn方差存在,有共同的上界,则 Xn服从大数定律.,证明用到切比雪夫不等式.,依概率收敛,定义5.1.1 (依概率收敛),大数定律讨论的就是依概率收敛.,若对任意的 0,有,则称随机变量序列Yn依概率收敛于Y, 记为,依
2、概率收敛的性质,定理5.1.2 若,则Xn与Yn的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.,依概率收敛(续),推论5.1.3 (多变量函数),设,g(x,y)在点(a,b)连续,则,,,,又设函数,伯努利大数定律,定理5.1.4(伯努利大数定律),设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数,每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0,有,马尔可夫大数定律,定理5.1.5,若随机变量序列Xn满足:,则 Xn服从大数定律.,(马尔可夫条件),辛钦大数定律,定理5.1.6,若随机变量序列Xn独立同分布,且Xn的数学期望存在,则 Xn服从大数定律.,(1) 伯努利大数定律是切比
3、雪夫大数定律的特例.,注 意 点,(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.,(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.,5.2 中心极限定理,讨论独立随机变量和的极限分布, 本节指出极限分布为正态分布.,5.2.1 独立随机变量和,设 Xn 为独立随机变量序列,记其和为,5.2.2 独立同分布的中心极限定理,定理5.2.1 林德贝格勒维中心极限定理,设 Xn 为独立同分布随机变量序列,数学期望为, 方差为 20,则当 n 充分大时,有,应用之例: 正态随机数的产生; 误差分析,林德贝格勒维中心极限定理的推论,例5.2.1 每袋味精的净重为随机变量,平均重量为 100克,标准差为10
4、克. 一箱内装200袋味精,求一箱味精的净重大于20500克的概率?,解:,设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布,,且 E(Xi)=100,Var(Xi) =100,,由中心极限定理得,所求概率为:,= 0.0002,故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小),例5.2.2 设 X 为一次射击中命中的环数,其分布列为,求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.,解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数,则Xi 独立同分布,,且 E(Xi) =9.62,Var(Xi) =0.82,故,= 0.00021,5.2.3 二项分布的正态近似,定
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