第2章控制系统的数学模型.ppt
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1、,自动控制原理 教学课件 2009年淮南师范学院 校级精品课程,电气信息工程学院 自动控制原理课程教学组,第2章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图 2-4 控制系统建模实例 2-5 用Matlab处理系统数学模型,控制系统的数学模型:描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。 数学模型分为: 静态模型:变量各阶导数为零时系统的代数方程。 动态模型:变量各阶导数关系的微分方程。 工程控制中常用的数学模型有三种: 微分方程-时域描述 传递函数-复域描述 频率特性-频域描述 只有建立控制系统的数学模型,才能对其进行
2、定量的分析和设计。因此,建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。,第2章 控制系统的数学模型,建立控制系统数学模型的方法主要有两种: 分析法:对系统各部分的运动机理进行分析,依据其所遵循的基本定律,列写出相应的运动方程,最后得到有关输入与输出关系的数学表达式。 实验法:给系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型去逼近,该方法也称为系统辨识。 本章研究用分析法建立系统数学模型的方法。,第2章 控制系统的数学模型,2-1 控制系统的时域数学模型,建立控制系统的时域数学模型,即用理论分析法建立系统的微分方程。 用分析法建立系统微分方程的一般步骤如下: (1)分析系统的工
3、作原理和系统中各变量之间的关系,确定系统的输入量、输出量和中间变量。 (2)根据系统(或元件)的基本定律(物理、化学定律), 从系统的输入端开始,依次列写组成系统各元件的运动方程(微分方程)。,第2章 控制系统的数学模型,(3)联立方程,消去中间变量,得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程。 (4)标准化。将与输出量有关的各项放在方程的左边,与输入量有关的各项放在方程的右边,等式两边的导数项按降幂排列。 本章所研究的是描述线性、定常、集总参数控制系统的微分方程的建立和求解方法。 下面举例说明系统微分方程列写的步骤和方法。,第2章 控制系统的数学模型,1. 线性元件的微分方程 例2-1 设有由
4、电阻R,电感L和电容C组成的电路。试列写以ui为输入量,uo为输出量的微分方程。 解 设回路电流为i,根据基尔霍夫定律,第2章 控制系统的数学模型,消去中间变量i,得到系统输入输出关系的微分方程为:,例2-2 设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转 动系统,如图所示。试列写以力矩Mi为输入变量,角速 度为输出变量的系统微分方程。,第2章 控制系统的数学模型,解 根据牛顿定律 可写出下列方程 式中,f阻尼器的粘性摩擦阻力矩,它与角速度 成正比;f阻尼系数;J惯性负载的转动惯量,第2章 控制系统的数学模型,将方程(1)写成标准形式,求得系统的微分方程为: 若以负载转角为系统的输出量,即有 则系
5、统的微分方程为,第2章 控制系统的数学模型,例2-3 弹簧质量块阻尼器系统 解 当外力f(t)作用于系统时,系统产生位移 X(t) 由力的传递特性,有:,消去中间变量:,令输入 ,输出,第2章 控制系统的数学模型,2. 控制系统微分方程的建立 若干个元件环节的有机组合构成控制系统。例如P24图2-5所示的速度控制系统,是由运算放大器1、运算放大器2、功率放大器、直流电动机、齿轮系、测速发电机等几个元件环节构成。 建立控制系统的微分方程时,一般先由系统原理图画出系统方块图,并分别列写出组成系统各元件的微分方程,然后,消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间的微分方程。 了解例2-5建立速度控
6、制系统的微分方程的步骤,第2章 控制系统的数学模型,3. 线性系统的基本特性 用线性微分方程描述的系统称为线性系统。线性系统满足叠加定理。即具有可叠加性和均匀性。 可叠加性:两个外作用同时加于系统所产生的总输出等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。 均匀性:外作用的数值增大多少倍,其输出也相应增大同样的倍数。 注:主要用于分析和设计系统时,当有若干个外作用时,可对它们分别处理后叠加。,第2章 控制系统的数学模型,4. 线性定常微分方程的求解 求解方法 经典法:高等数学中关于微分方程求解的方法。 拉氏变换法:信号与系统课程已介绍,第3章有具体应用实例说明。 计算机数值求解法:利用数值求解方
7、法将微分方程转换成叠代或递归的代数方程,编程求解此代数方程可得相应微分方程的数值解。,第2章 控制系统的数学模型,用拉氏变换求解线性微分方程的步骤: 考虑初始条件,对微分方程中的第一项分别进行拉氏变换,将微分方程转换为变量s的代数方程。 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。 对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换,得到输出量的时域表达式,即为所求微分方程的解。,第2章 控制系统的数学模型,5. 非线性系统的线性化,实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性特性,严格地讲,任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性。 在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下简化为线性问题,即将非线性模型
8、线性化。,第2章 控制系统的数学模型,非线性函数的线性化:将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数,忽略二次以上高阶无穷小量及余项,得到近似的线性化方程。 假如元件的输出与输入之间的关系的曲线如图所示,元件的工作点为(x0,y0)。将非线性函数y=f(x)在工作点(x0,y0)附近展开成泰勒级数,得,第2章 控制系统的数学模型,当(x-x0)为微小增量时,可略去二阶以上各项,写成:,式中, 为工作点(x0,y0)处的斜率,即此时以工作点处的切线代替曲线,得到变量在工作点的增量方程,则输出与输入之间就变成了线性关系。,第2章 控制系统的数学模型,如果系统中非线性元件不止一个,则必须对各非线性元件建
9、立它们工作点的线性化增量方程。 具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,第2章 控制系统的数学模型,在求取线性化增量方程时应注意: 线性化方程通常是以增量方程描述的; 线性化往往是相对某一工作点(平衡点)进行的。在线性化之前,必须确定元件的工作点; 变量的变化必须是小范围的; 对于严重非线性元件或系统,原则上不能用小偏差法进行线性化,应利用非线性系统理论解决。,第2章 控制系统的数学模型,6. 运动的模态 一种模态表示一种类型的运动形态。 运动的模态由系统微分方程特征根的类型所决定。 n阶微分方程的特征根为实数且无重根,则其运动模态形如 特征根中有r阶多重根,则模态具有形如 特征根中
10、有共轭复根 ,则其实函数模态形如 和,第2章 控制系统的数学模型,2-2 控制系统的复数域数学模型,控制系统的微分方程:在时间域描述系统动态性能的数学模型。 给定外作用和初始条件,求解控制系统的微分方程可得到系统输出响应的表达式,并可作出输出量的时间响应曲线。 当系统参数或结构改变,需要重写微分方程。 微分方程阶数越高,工作越复杂,使用微分方程对系统进行分析与设计就存在不便。,第2章 控制系统的数学模型,用拉氏变换求解线性系统的微分方程时,得到控制系统在复数域中的数学模型传递函数。 利用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能,以及系统参数或结构变化对动态性能的影响。 经典控制理论中分析
11、和设计方法都是以传递函数为基础建立起来的,传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。,第2章 控制系统的数学模型,1. 传递函数的定义和性质,(1)定义 线性定常系统的传递函数:线性定常系统在零初始条件 下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。即,图2-1 传递函数方框图,传递函数与输入、输出之间的关系,可用图2-1所示的方框图表示。,第2章 控制系统的数学模型,设线性定常系统的微分方程为: c(t)系统输出量; r(t)系统输入量;,(1),由系统结构和参数决定的常数。,第2章 控制系统的数学模型,设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零,对式(1)取拉 氏变换得: 则系统的传递
12、函数为:,第2章 控制系统的数学模型,(2) 性质,1)传递函数的概念只适用于线性定常系统。 传递函数是复变量s的有理真分式函数,具有复变函数的所有性质; nm,且所有系数均为实数。 2)传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式,它只取决于系统本身的结构和参数,而与系统输入量的大小和形式无关,也不反映系统内部的任何信息。,第2章 控制系统的数学模型,3)传递函数是在零初始条件下定义的,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。 传递函数与零初始条件微分方程是相通的。将微分方程的算符d/dt用复数s置换后便得到传递函数。反之亦然。 4)传递函数是在零初始条件下定义的
13、。其二个含义:一是指输入量是在t0时才作用于系统;二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态。,第2章 控制系统的数学模型,2. 传递函数的零点和极点 传递函数可表达成零极点形式和时间常数形式两种形式。,第2章 控制系统的数学模型,a)零极点形式 p1 ,p2,pn为分母多项式的根,称为传递函数的极点 z1, z2,zn为分子多项式的根,称为传递函数的零点 Kg称为根轨迹放大系数 系统的零、极点完全取决于系统的结构和参数。,第2章 控制系统的数学模型,b)时间常数形式,式中,i(i=1,m)和Ti(i=1,n)为时间常数 Kk称为系统的开环放大系数,第2章 控制系统的数学模型,3. 传递
14、函数的极点和零点对输出的影响 传递函数的极点是微分方程的特征根,决定了所描述系统自由运动的模态,是系统“固有”的成分。 传递函数的零点并不形成自由运动的模态,但其影响各模态在响应中所占的比重,因而也影响响应曲线的形状。,第2章 控制系统的数学模型,无论是机械的、电子的、液压的、光学的、化工的或其他类型的自动控制系统是由各种元部件相互连接组成的。 不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。 各种元件或系统可由最基本的典型环节组合而成。了解典型环节的传递函数可有助于对实际元件或系统的认识和理解。,4. 典型环节的传递函数,第2章 控制系统的数学模型,(1)比例环节 输出量与输入量成正比,不失真
15、也无时间滞后的环节 称为比例环节。 比例环节的动态方程为: 式中,K放大系数或增益。,第2章 控制系统的数学模型,传递函数为:,比例环节,第2章 控制系统的数学模型,例2-4 如图所示为反相比例运算放大器。设输入为ui(t),输出为uo(t),求其传递函数。 解 根据电路定律,可知该电路的微分方程为: 传递函数为: 其中,K= -R2/ R1,第2章 控制系统的数学模型,(2) 积分环节 积分环节的动态方程为: 式中,Ti积分时间常数。 传递函数为:,积分环节的方框图,第2章 控制系统的数学模型,例2-5 如图所示为积分运算放大器。设输入为ui(t) ,输出为uo(t),求其传递函数。,第2章
16、 控制系统的数学模型,解 根据电路定律,可知该电路的微分方程为 传递函数为: 式中,Ti=RC,第2章 控制系统的数学模型,(3)微分环节 微分环节的动态方程为 式中,Td微分时间常数 传递函数为,微分环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,例2-6 如图所示为一电感线圈。设输入为i(t),输出为 uo(t),求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律,可知该电路的微分方程为 传递函数为:,第2章 控制系统的数学模型,(4)惯性环节(一阶环节) 惯性环节的动态方程为: 式中,T惯性环节的时间常数; K惯性环节的增益或放大系数。 传递函数为:,惯性环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,例2-7 如图
17、所示为RC网络。设输入为ui(t),输出 为uo(t),求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律,可知该电路的微分方程为,第2章 控制系统的数学模型,对上式进行零初始条件下的拉式变换,得: 消去中间变量I(s),得到: 传递函数为:,第2章 控制系统的数学模型,(5)一阶微分环节 一阶微分环节的动态方程为 传递函数为:,一阶微分环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,(6)二阶振荡环节 二阶振荡环节的动态方程为: 传递函数为: 式中,n=1/T无阻尼自然振荡频率;阻尼比,第2章 控制系统的数学模型,二阶振荡环节方框图,例2-8 如图所示RLC电路。设输入为ui(t),输出 为uo(t),求其传递函
18、数。 解 根据基尔霍夫定律可知该电路的微分方程为,第2章 控制系统的数学模型,对上式进行零初始条件下的拉式变换,得: 消去中间变量I(s),得到: 传递函数为:,式中,第2章 控制系统的数学模型,(7) 二阶微分环节 二阶微分环节的动态方程为: 传递函数为:,二阶微分环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,(8)时滞环节 时滞环节是在输入信号作用后,输出信号要延迟 一段时间才重现输入信号的环节。 其动态方程为: 传递函数为,第2章 控制系统的数学模型,延迟环节方框图,在实际生产中,有很多场合是存在延迟的,如测量系 统,皮带或管道输送过程,管道反应和管道混合过程等。,第2章 控制系统的数学模型,
19、2-3 控制系统的结构图和信号流图,控制系统的结构图和信号流图是描述系统各元件之间信号传递关系的数学图形,它表示了系统中各变量之间关系以及对各变量所进行的运算,是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法。 信号流图可直接给出计算机模拟仿真程序。但信号流图只适用于线性系统,而结构图还能用于非线性系统。,第2章 控制系统的数学模型,1.系统结构图的组成和绘制 方框图又称方块图或结构图,具有形象和直观的特点。 方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成,它包含以下四种基本单元: (1)信号线。带有箭头的直线,箭头表示信号传递的方向,线上标记所对应的变量,如图2-2(a)所示。,第2章 控制
20、系统的数学模型,(2)比较点(或综合点)。表示对两个或两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加,可省略不写;“-”表示相减,如图2-2(b)所示。 (3)方框。方框中为元件或系统的传递函数。方框的输出信号等于输入信号乘以方框中的传递函数,如图2-2(c)所示。,第2章 控制系统的数学模型,(4)引出点(或分支点)。表示信号引出或测量的位置,从同一位置引出的信号,大小和性质完全相同,如图2-2(d)所示。,图2-2 方框图的基本单元,第2章 控制系统的数学模型,绘制控制系统方框图的一般步骤: 写出组成系统各环节的微分方程; 求取各环节的传递函数,绘制各环节的方框图; 从输入端开始,按信号流向依
21、次将各环节方框图用信号线连接成整体,即得控制系统方框图。,第2章 控制系统的数学模型,例2-9 试绘制如图所示的RC网络的方框图。设输入 为u1(t),输出为u2(t)。 解 根据基尔霍夫定律且在零初始 条件下,对上述方程取拉式变换,RC网络,第2章 控制系统的数学模型,将每式用方框图表示,如图所示,各环节方框图,第2章 控制系统的数学模型,从输入量开始,将同一变量的信号线连接 起来,得到系统的方框图,如图所示。,第2章 控制系统的数学模型,2. 方框图的等效变换和化简,目的:简化系统传递函数的计算 由控制系统的结构图通过等效变换(或化简)可方便地求出闭环系统的传递函数或系统输出量的响应。 原
22、则: (1)代数运算原则(因为传递函数是以复数s为变量的代数方程) (2)保持变换前后输入输出关系不变,第2章 控制系统的数学模型,一个任意复杂的系统结构图,其方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。因此,结构图简化的一般方法是移动引出点或比较点,合并串联、并联和反馈连接的方框。,第2章 控制系统的数学模型,(1) 串联方框的简化(等效) 传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框,若G1(s)的 输出量为G2(s)的输入量,则G1(s)和G2(s)的方框连接 称为串联。,第2章 控制系统的数学模型,结论:多个环节串联后总的传递函数等于 每个环节传递函数的乘积。 G(s) = G
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