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1、数学的精神、思想、方法,西北师大教育学院 张定强 2007-11-5,内容简介: 数学概貌 谈无限:集合和基数 说变化:关系和函数 代数:运算和结构 几何:拓扑与图论(图形与变换) 矩阵:生活中的数学 统计:聚类与层次分析 算法:从验血方案谈起 对策:田忌赛马(选举中的数学),第二讲 谈无限:集合和基数 1、集合的基本概念 具有一定性质的事物的全体(不精确:事物、性质、全体) 理发师悖论:他给一切“不给自己刮脸的人”刮脸。理发师的服务对象组成了一个集合B,理发师自己是否属于B却出现了矛盾,若属于B,自己成了自己服务的对象,他就应该给自己刮脸,这样他就属于给自己刮脸的人,从而他就不属于B;若不属
2、于B,即他给自己刮脸,他自己就不是服务对象,他就不应该给自己刮脸,因而产生了矛盾。 数理逻辑。 2、集合的基数,我们把表示集合内元素个数的数称为集合的基数。 一种思想,方法。 一一对应 作用与价值:从量的属性来刻划事物的差异。 案例:希尔伯特饭店问题的讨论。 引发思考的问题:无限;数的类别;模糊集合,极限方法:一尺之棰,日取其半,万世不竭。,一个数学案例:对极限的进一步认识。,活动1 观察算式找规律 过 程 1、分组活动。 2、2人一组,观察下列算式 1 = 0 + 1 2+3+4 = 1+ 8 5+6+7+8+9 = 8+27 10+11+12+13+14+15+16= 27+64 根据上述
3、算式找出它们的一般规律,并用适当的数学式子表示出这个规律。 3、在小组内展示找出的规律,并解释理由。,4、 每位参与者独立观察下列各个和式的值。 0+1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 +5 + 7, 找出它们的一般规律,并用适当的数学式子表示出来。在小组内进行交流。,5、分组讨论下列问题。 (1)在上述活动中,你对发现的规律确信吗?怎样检验你发现的规律? (2)从上述活动中可总结出一种研究问题的一般方法,如何具体表述这种方法?怎样用这种方法求连续自然数的立方和 13 + 23 + 33 + 43 + + n3 ? 6、各组展示讨论结果。 7、评论与总结。,活动2 研究方程的
4、解 过 程 : 1、分组活动。 2、仔细阅读下面的问题。 假定u是正奇数,问方程 4u= x2 + y2 + z2 + w2 (*) 有多少组x , y , z , w的正奇数解? 3、每位参与者取u = 1,3,5,25,分别考察符合条件的方程(*)的解及解的个数,列表显示结果。考察u与方程解的个数之间的关系,找出一般规律,将其表述为一个数学命题。,4、在小组内展示、交流各人的 成果。 5、各组将本组成员的成果汇总, 记录在大白纸上,推选一位代表向全 班介绍。,6、分组讨论下列问题。 (1)你是怎样探求方程解的个数与u的关系的? (2)归纳法有哪些特征? 7、 各组展示讨论结果。 8、评论与
5、总结。,第三讲 说变化:关系和函数,事物之间存在着各种各样的联系,而事物的性质也只有从它们的相互联系中才能被认识。 1、等价关系(血型A、B、AB、O;关系、同乡、校友):自反性、对称性、传递性) 2、序关系(大于、辈份:反对称性、传递性、二歧性) 3、相关关系(身高与体重、数学与物理成绩)和函数关系 对连续的进一步探索和认知,相关系数:强相关、弱相关、小于03时两个量几乎无线性相关关系;大于 03时两个量有线性相关关系; 0305时两个量之间是低度线性相关关系; 05-08时两个量是显著线性相关关系; 08以上时两个量是高度线性相关关系,某地区的气温与当天发生的交通事故数列表如下:,相关关系
6、:R=0465,几种重要的函数 基本初等函数:指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数 初等函数:经过四则运算及复合运算形成的函数。 形成对客观存在事物内在关系的刻画 用精确来描述大千世界,日历上的数学问题(你能提出什么样的问题,发现哪些规律),活动 分割与着色 活动目的:经历实际操作、观察特例、大胆猜测、探求一般结论、验证结论的过程,从中感受发现的乐趣。 活动1 分割纸片 目标:找出分割纸片中蕴含的一般规律 时间:45分钟 材料: 32开纸,笔,尺子 1. 分组活动。各组发32开纸若干张。 2. 参与者两人一组合作完成如下任务。,在32开纸上画一个圆,再用笔和直尺画线段把圆分割,画1
7、条线、2条线、3条线、4条线、5条线,使所分割出的纸片块数尽可能多。 3. 分组讨论下列问题。 (1)在上面的分割过程中,要使分割出的块数最多,应该如何操作? (2)若用n条线分割,分割产生最多的块数为f(n),那么块数f(n)与分割线数n的关系式如何?试加以证明。 4. 各组展示讨论结果。 5. 各组集体设计一个适合于学生的参与式教学活动,使学生在活动中通过动手操作、观察等,,发现一些一般性结论。 5. 评论与总结。 6. 各组展示设计的活动。 活动2 立方体着色 目标:发现着色立方体中蕴含的一般性规律。 时间:45分钟 材料:纸,笔,示意图。,图-74,过程:1. 给每个小组发111的单位立方体100个。两人配合用单位立方体拼成一个大的立方体(如222,333,)。 2. 分组讨论下列问题。 (1)在小组拼成的大立方体中,设想用带色的漆涂遍大立方体的表面。那么组成这个大立方体的单位立方体中有3个面、2个面、1个面、0个面被着色的单位立方体分别有多少个?若拼成一个nnn的立方体,结果又如何?,(2)上面得到的结果能否推广到长方体?即拼成一个lmn的长方体,结果又如何? (3 )你能提出哪些类似的问题,试着去解决一下,你一定会受益非浅 。,谢 谢!,
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