应用多元统计课件ch3.1.ppt
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1、1,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布-Wishart分布的性质,性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X() Np(0,) (1,n)相互独立,其中,又已知随机矩阵,则,2,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布-Wishart分布的性质,性质5 设随机矩阵WWp(n,),记,则,相互独立。其中,(性质5,性质7和性质8不要求),3,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布-Wishart分布的性质,性质6 设随机矩阵WWp(n,),则 E(W)n.,证明:由定义3.1.4,知,其中ZNp(0,)(=1,n)相
2、互独立.则,4,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布,一元统计中, 若XN(0,1), 2(n) ,X与 相互独立,则随机变量,下面把 的分布推广到p元总体.,设总体XNp(0,),随机阵W Wp(n,),我们来讨论T2nXW -1 X的分布.,5,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布,定义3.1.5 设XNp(0,),随机阵WWp(n,) (0, np),且X与W相互独立, 则称统计量T2nXW-1 X 为Hotelling T2 统计量,其分布称为服从n个自由度的T2 分
3、布,记为T2 T2 (p,n).,更一般地,若XNp(,) (0),则称T2 的分布为非中心Hotelling T2 分布,记为 T2 T2 (p,n,).,6,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,性质1 设X() Np(,) (1,n) 是来自p元总体Np(,)的随机样本, X和A分别为总体Np(,)的样本均值向量和离差阵,则统计量,事实上,因,7,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,而AWp(n-1,),且A与X相互独立.由定义 3.1.5知,8,第三章
4、多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,性质2 T2与F分布的关系:设T2T2 (p,n), 则,在一元统计中,9,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,当p=1时,一维总体XN(0,2),,所以 注意:因,这是性质2的特例:即p=1时,T2F(1,n).,10,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,一般地:(性质2的严格证明见参考文献2),其中X-1 X2(p,) (0),还可以证明,2(n-p+1),且与
5、独立.,11,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,性质3 设XNp(,), 随机阵WWp(n,) (0, np),且X与W相互独立, T2nXW -1 X 为非中心Hotelling T2 统计量(T2 T2 (p,n,).,则,其中非中心参数 .,12,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,或 性质3 设X() Np(,) (1,n) 是来自p元总体Np(,)的随机样本, X 和A分别为样本均值向量和离差阵.记,13,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1
6、 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,一元统计中(p=1时),t 统计量与参数2无关.类似地有以下性质. 性质4 T2统计量的分布只与p,n有关,而与无关. 即,14,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,事实上,因XNp(0,) (0),WWp(n,),则-1/2XNp(0,Ip),,因此,15,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变 设X() (1,n) 是来自p元总体Np(,)的随机样本
7、, Xx和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有,16,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Hotelling T2分布的性质,令,其中C是pp非退化常数矩阵,d是p1常向量。则可证明:,17,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义,一元统计中,设2(m),2(n), 且相互独立,则,在总体N(1,2(x)和N(2,2(y)方差齐性检验中,设X(i)(i=1,m)为来自总体N(1,2(x)的样本, Y (j) (j=1 ,n)为来自总体N(2,2(y)的样本.取2(x)和2(y)的估计量(样
8、本方差)分别为,18,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义,检验统计量,p元总体Np(,)中,协差阵的估计量为A/(n-1)或A/n.在检验H0:12时,如何用一个数值来描述估计矩阵的离散程度呢.一般可用矩阵的行列式、迹或特征值等数量指标来描述总体的分散程度.,19,第三章 多元正态总体参数的假设检验 3.1 几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义,定义3.1.6 设XNp(,),则称协差阵的行列式|为X的广义方差.若X() (1, n ) 为p元总体X的随机样本,A为样本离差阵,有了广义方差的概念后,在多元统计的协差阵齐次检验中,
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