有限元分析与应用技术培训教材.ppt
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1、有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application,第一章 绪论,1-1 工程和科学中典型问题,在工程技术领域内,经常会遇到两类典型的问题。第一类问题,可以归结为有限个已知单元体的组合。例如,材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。把这类问题称为离散系统。如左图所示平面桁架结构,是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的,但是求解右图这类复杂的离散系统,要依靠计算机技术。,1-1工程和科学中典型问题,第二类问题,通常可以建立它们应遵循的基本方程,即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题,热传导问题,电磁场问题等。由于建立基本方
2、程所研究的对象通常是无限小的单元,这类问题称为连续系统,或场问题。,尽管已经建立了连续系统的基本方程,由于边界条件的限制,通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题,还无法给出精确的解答,例如图示V6引擎在工作中的温度分布。为解决这个困难,工程师们和数学家们提出了许多近似方法。,1-2 场问题的一般描述 -微分方程+边界条件,1) 应力场-弹性力学 2) 温度场-热传导 3) 电磁场-电磁学 4) 流速场-流体力学 A、B-微分算子(如对坐标或时间的微分) u-未知场函数,可为标量场(如温度),也可为矢量场(如位移、应变、应力等),基本方程: 边界条件:,实例:二维热传导(稳态
3、)问题,原理:从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源产生的热量Q平衡,数值计算方法分类,1-3 有限元法基本思想,先将求解域离散为有限个单元,单元与单元只在节点相互连接;-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替 对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律,该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数 基于问题的基本方程,建立单元节点的平衡方程(即单元刚度方程) 借助于矩阵表示,把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程,这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组,引入边界条件求解该方程组即可。,1-3 有限元法基本思想,实例1(离散系统)结构离散,节
4、点位移向量表示: 节点力向量表示: 节点1沿x方向的位移 、其余节点位移全为0时轴向压力为:,实例1(单元分析),节点1作用于单元1上的力,在x和y方向的分量分别为:,同理,节点2作用于单元1上的力,其大小与之相等,方向相反,x和y方向的分量分别记为:,注: 表示第e个单元的第j个自由度产生单位位移,而其它自由度上的位移为零时,第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。,实例1(单元分析),同理可求 分别作单位位移时相应的刚度系数,考虑到节点的实际受力为 和实际位移为 ,则据各个节点节点力平衡得: 单元1节点力平衡方程,单元2节点力平衡方程,实例1(整体分析),整体分析: 作用于每个节点
5、上的节点力平衡,即,结合前式推导得:,实例1(引入约束求解),整体矩阵记为: 将 代入可得整体方程,实例2 (连续问题),通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例:等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a) 单位杆长重量为q,杆长为L,截面面积为A,弹性模数为E,实例2,材料力学方法求解直杆拉伸: 图(b)-位移法 考虑微段dx,内力 N=q (L-x) dx的伸长为 x截面上的位移: 根据几何方程求应变,物理方程求应力。这里 应变 应力,实例2 (结构离散),有限单元法求解直杆拉伸:,1、离散化,2、外载荷集中到结点上,即把投影部分的重量作用在结点i上,实例2 (单元分析),有限单元法求解直杆拉
6、伸:,3、假设线单元上的位移为线性函数,实例2 (单元分析),有限单元法求解直杆拉伸:,4、以i结点为对象,列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得,用结点位移表示的平衡方程,其中i=1,2, n有n个方程 未知数也有n个,解方程组,得出结点位移,进而计算应力,实例2 (整体分析与求解),有限单元法求解直杆拉伸:,假设线单元数为3个的情况, 平衡方程有3个: i=1时, i=2时, i=3时, 联立解得,与材料力学的精确解答在结点处完全相同,1-4 有限元法的基本步骤,所研究问题的数学建模 物体离散 单元分析 整体分析与求解 结果分析及后处理,力学模型 (平面应力问题),有限元模型,1-5
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