第五章概率和概率分布.ppt
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1、统 计 学,第五章 概率和 概率分布,第五章 概率和概率分布,1 概率的问题 2 离散变量的概率分布 3 连续变量的概率分布 4 抽样分布,学习目标,1. 了解随机事件的概念、事件的关系和运算 2. 理解概率的定义,掌握概率的性质和运算法则 理解随机变量及其分布,计算各种分布的概率,1 概率的问题,1.1 事件 1.2 概率 1.3 概率分布,随机事件的几个基本概念,随机事件的几个基本概念,试 验,在相同条件下,对事物或现象所进行的观察 例如:掷一枚骰子,观察其出现的点数 试验具有以下特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个,但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的
2、在试验结束之前,不能确定该次试验的确切结果,事件的概念,事件:随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如:掷一枚骰子出现的点数为3 随机事件:每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如:掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件:每次试验一定出现的事件,用表示 例如:掷一枚骰子出现的点数小于7 不可能事件:每次试验一定不出现的事件,用表示 例如:掷一枚骰子出现的点数大于6,事件与样本空间,基本事件 一个不可能再分的随机事件 例如:掷一枚骰子出现的点数 样本空间 一个试验中所有基本事件的集合,用表示 例如:在掷枚骰子的试验中,1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中,正面,反面,1.1 事件,1.
3、1.2 事件的关系 事件的包含; 事件的互斥; 事件的并(或和); 事件的交(或积); 事件的差; 事件的逆。,1.1.2 事件的关系和运算 (事件的包含), 若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A,或事件A包含于事件B,记作或 A B或 B A,1.1.2 事件的关系和运算 (事件的并或和), 事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合,记为AB或A+B,1.1.2 事件的关系和运算 (事件的交或积), 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交,它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集
4、合,记为BA 或AB,1.1.2 事件的关系和运算 (互斥事件), 事件A与事件B中,若有一个发生,另一个必定不发生, 则称事件A与事件B是互斥的,否则称两个事件是相容的。显然,事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点,1.1.2 事件的关系和运算 (事件的逆), 一个事件B与事件A互斥,且它与事件A的并是整个样本空间,则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合,记为A,1.1.2 事件的关系和运算 (事件的差), 事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差,它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合,记为A-B
5、,1.1.3 事件的性质,事件的性质 设A、B、C为三个事件,则有 交换律:AB=BA AB=BA 结合律:A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C 分配律:A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),1.2 概率,1.2.1 事件的概率 事件A的概率是对事件A出现的可能性大小的一种度量,数学表示为 ,概率的数学性质有:,非负性 对任意事件A,有 0 P 1 规范性 必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0。即 P ( ) = 1; P ( ) = 0 可加性 若A与B互斥,则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1,A2,
6、An,有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),事件的概率,事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有:古典定义、统计定义和主观概率定义,事件的概率,例如,投掷一枚硬币,出现正面和反面的频率, 随着投掷次数 n 的增大,出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右,1.2.2 概率的古典定义, 如果某一随机试验的结果有限,而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同,则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值,记为,1
7、.2.2 概率的古典定义 (实例),【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人,问: (1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率,1.2.2 概率的古典定义 (计算结果),解:(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件;A为全公司男职工的集合;基本空间为全公司职工的集合。则,(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”;B为炼钢厂 全体职工的集合;基本空间为全体职工的集合。则,1.2.2 概率的统计定义, 在相同条件下进行n次随机试验,事件A出现 m 次,则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大,该频率围绕某一常数P上下摆动,且波动的幅度逐
8、渐减小,取向于稳定,这个频率的稳定值即为事件A的概率,记为,1.2.2 概率的统计定义 (实例),【例】:某工厂为节约用电,规定每天的用电量指标为 1000度。按照上个月的用电记录,30天中有12天的用电 量超过规定指标,若第二个月仍没有具体的节电措施, 试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解:上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验,试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有,1.2.2 概率的主观定义,对一些无法重复的试验,确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生,根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如,我认为201
9、2年的中国股市是一个盘整年,概率的主观定义叫主观概率,也叫个人概率。, 法则一:加法的特殊定理 两个互斥事件之和的概率,等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件,则 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1,A2,An两两互斥,则有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 特别的,若事件A与B互斥,并且事件A与B的和组成了整个样本空间,此时,事件A与B互为逆事件。 有 ,个式子还可以写成 或写作: 。上式也叫概率的补偿定理。,1.2.3 概率的加法,1.2.3 概率的加法 (实例),【例】根据钢铁公司职工的例子,
10、随机抽取一名职工,计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率 解:用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件;B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的和,其发生的概率为,1.2.3 概率的加法,法则二:加法的一般定理 有的事件并不是互斥的,有可能同时发生,存在交集。要计算两个事件之和的概率,要减去一次交集的概率,否则这部分就包括了两次,重复多算了一次。 对任意两个随机事件A和B,它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率,即 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) 对于两个互斥事件而言,有P (
11、AB) = P () =0 加法的特殊定理是一般定理的一个特例。,1.2.3 概率的加法 (实例),【例】设某地有甲、乙两种报纸,该地成年人中有20%读甲报纸,16%读乙报纸,8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解:设A读甲报纸,B读乙报纸,C至少读一种报纸。则 P ( C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28,1.2.4 概率的乘法-条件概率,1.条件概率 在事件B已经发生的条件下,求事件A发生的概率,称这种概率为事件A的条件概率,记为 若 ,事件A的条件概率(事件B发生的
12、条件下),与事件A本身的概率相等,意味着事件B的信息对于事件A没有影响,说明这两个事件是独立的。,条件概率的图示,1.2.4 概率的乘法,2. 乘法的特殊定理 两个独立事件之积(同时发生)的概率,等于两个事件的概率之积。即若事件A与B独立,有 P(AB)=P(A)P(B) 推广到n个独立事件,有 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An),1.2.4 概率的乘法 (乘法的特殊定理实例),【例】某工人同时看管三台机床,每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率:甲机床为0.9,乙机床为0.8,丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作,求 (1)在30分钟内三台机床都不需要看管
13、的概率 (2)在30分钟内甲、乙机床不需要看管,且丙机床需要看管的概率 解:设 A1,A2,A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件, A3 为丙机床需要看管的事件,依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3) = 0.90.8(1-0.85)=0.108,1.2.4 概率的乘法,3.乘法的一般定理 更多的时候,事件并不是独立的,概率的计算是有条件的。一般意义上,两个事件之积(同时发生)的概率,为: 上式也可以写作,求两个以上事件之积(同时发生)的概率与之相似。 以
14、三个事件A、B、C为例。事件A、B、C同时发生的概率为:,1.2.4 概率的乘法 (实例),【例】设有1000中产品,其中850件是正品,150件是次品,从中依次抽取2件,两件都是次品的概率是多少? 解:设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2),所求概率为P(A1A2),1.2.5 全概公式和贝叶斯公式,1.全概公式 设n个事件 两两互斥,并有 ,说明n个事件两两互斥没有交集,并且组成了整个样本空间,满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组。 若 ,则对任意事件B,有: 我们把事件 看作是引起事件B发生的所有可能原因,事件B 能且只能在原有 之一发生的条件下发生,求事件B 的概率
15、就是上面的全概公式,全概公式 (实例),【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产,各种机床的次品率分别为5%、4%、2%,它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%,将它们的产品组合在一起,求任取一个是次品的概率。 解:设 A1表示“产品来自甲台机床”, A2表示“产品来自乙台机床”, A3表示“产品来自丙台机床”, B表示“取到次品”。根据全概公式有,1.2.5 全概公式和贝叶斯公式,2.贝叶斯公式 贝叶斯公式与全概率公式要解决的问题正好相反。 它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(或事件是在什么条件下发生的)。 贝叶斯公式也称作逆概公式。 设n个事件 两两互斥,并有 就是贝叶斯
16、公式(逆概公式),它是基于事件B已发生的结果,推导事件B是在 情况下发生的概率。,1.2.5 全概公式和贝叶斯公式,进一步有: 已知事件B发生了,未知(想去知道)的是事件B是在什么情况下发生,这可以通过计算逆概率来做出判断。,贝叶斯公式 (实例),【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产,各种机床的次品率分别为5%、4%、2%,它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%,将它们的产品组合在一起,如果取到的一件产品是次品,分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率 解:设 A1表示“产品来自甲台机床”, A2表示“产品来自乙台机床”, A3表示“产品来自丙台机床”, B表示“取到次品”。根据贝
17、叶斯公式有:,1.3 概率分布,概率分布指的是随机变量的概率分布。 对离散变量,列出其所有可能的取值以及随机变量取这些值的概率,便构成了离散变量的概率分布。 对连续变量,可计算某段(区间)取值的概率(或概率密度),相应地便构成了连续变量的概率分布。,随机变量的概念,一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量,随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2, 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,连续型随机变量,随机变量 X 取无限个值 所有
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