自考概率论课件第二章随机变量及分布1.ppt
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1、2019/8/27,1,第二章 随机变量及其概率分布,2019/8/27,2,2.1 离散型随机变量,2.2 随机变量的分布函数,2.3连续型随机变量及其概率密度,2.4 随机变量函数的分布,2019/8/27,3,例1 掷一枚骰子,样本空间=1,2,6.对于每次试验结果,都有一个数值与之对应. 我们可引进一个变量 X “出现的点数”,X的可能取值为1,2,3,4,5,6.,2.1 离散型随机变量,一、随机变量的概念,若随机试验的结果带有明显的数量标识,则可用数量值来表示事件,若试验的结果不带有明显的数量标识,也可以用数量表示事件.,例2 掷一枚硬币,样本空间 =正,反.引进变量X,并规定正面
2、出现时,X=1;反面出现时,X=0.,X表示“正面出现的次数”,类似的例子如:射击、抽检产品,如:( X= i )代表相应的基本事件(样本点),事件A “点数超过3”,可用(X3)表示.,事件可用变量X表示.,X= X(),X= X(),2019/8/27,4,例3 电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为 X,则 X 是一个变量,取值为0,1,2,,( X =i)代表相应的基本事件(样本点).,变量X的取值取决于试验的结果,具有随机性;且取任一值都有确定的概率.我们把具有上述性质的 X 称为随机变量.,引进一个变量X,对于E的每一可能结果 ,都有一个确定的 实数X()与之对应,而试验
3、的结果是随机的,所以变量X的取值 也是随机的,这就是随机变量.,例4 某地区某段时间内的气温.记X表示任一时刻的气温值,则X的取值为a,b.( X=i)即为一基本事件(样本点).,2019/8/27,5,1.随机变量的定义,定义2-1 设试验E的样本空间为,对于任一样本点 , 都有唯一确定的实数 X()与之对应,即 X=X()是定义上的一 个实值函数,且对于任意实数 x , ( X( ) x )是一随机事件,有 确定的概率,则称 X=X()为随机变量.,注:,(1) 随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 , 等表示. 而表示随机变量所取的值时,采用小写字母 x , y , z 等 .,(
4、2)随机变量的取值有一定的概率(随机变量与普通函数的本质差异).由此可知,对随机变量的研究,不仅要搞清楚随机变量取值的范围,还要搞清楚取相应值的概率.,2019/8/27,6,例2 在 n 重贝努里试验中, X “事件A出现的次数” ,则X=0,1,n. 则“在 n 重贝努里试验中,事件A恰好出现k次”,记作( X = k),且,例1 单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示,则“呼叫不少于一次”(X1),“没收到呼叫”(X = 0).,( q=1-p ),按照随机变量的取值情况可把其分为两类: 离散型随机变量:随机变量X的全部取值只有有限个或 无限可列个. 非离散型随机变量:随机变量X的全部
5、取值不能一一列举. 其中,只研究连续型随机变量(随机变量X取值于某个区间或整个数轴的所有实数).,2. 随机变量的分类,2019/8/27,7,二、离散型随机变量的概率分布 对于离散型随机变量X,它的取值有限个或无限可列个.我们关心的问题是:X的所有可能的取值是什么?取每一个值的概率是多少?将这两个问题综合起来就是概率分布.,1.概率分布的定义,定义:若离散型随机变量X所有可能的取值为x1,x2, 对应的概率为 p1 , p2 , 称P(X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1) 为随机变量 X的概率分布或概率函数或 分布律.,注,(1)为了直观,概率分布表示为:,X x1 x2
6、 xn ,P p1 p2 pn ,(2) (X=x1 ), (X=x2 ), , (X=xn) ,构成完备事件组.,2019/8/27,8,2.概率分布的性质,(1) pk0, k = 1,2, ;,例2-2 掷一枚骰子,求出现的点数的概率分布及P(X3) .,解:设X表示出现的点数,则,X=1,2,3,4,5,6.,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.,所以,X的概率分布为:,P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.,或,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,3.会求概率分布及
7、相关概率,P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2,P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, ,(非负性),(归一性),P(1X3)=P(X=2)+P(X=3)=1/3,P(1X3)=P(X=2)=1/6,P30例2-1,2019/8/27,9,例2-3(P30)袋中有5个同样大小的球,编号为1, 2, 3, 4, 5.从中同时取出3个球,记X为取出的球的最大编号, 求X的概率分布,并求P(X3.5), P(3X4.5).,解:X=3, 4, 5.,P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)=,概率分布为:,X 3 4 5,P(X3.5)=P(X=3)=0.
8、1;,P 0.1 0.3 0.6,P(3X4.5)=P(X=4)=0.3,练习:P31 例2-4.,2019/8/27,10,若X的概率分布为:,三、离散型随机变量的常见分布,P( X=k ) = pk (1-p)1-k , k = 0, 1 .,1. 0-1 分布,则称X服从参数为p的0-1分布.,注,0-1分布中X的实质:,设P(A)=p,X“一次试验中A发生的次数”,则X服从0-1分布.,2019/8/27,11,称X服从参数为n, p的二项分布,记为X B(n, p).,注,0-1分布是二项分布的特例:,若X表示“n重贝努里试验中事件A发生的次数”, X的可能取值为0,1,2, , n
9、 ,对应的概率分布为:,2. 二项分布,当n=1时,B(1, p)就是0-1分布.,2019/8/27,12,例2-6(P32)某特效药的临床有效率为0.95,现有10人服用,问至少有8人治愈的概率.,一般地,设X B(n, p),则,A至少发生一次的概率为,解:X “在10人中治愈的人数”.,X B(10, 0.95).,=0.9885,二项分布的计算很繁,需近似计算.,2019/8/27,13,其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的普哇松分布, 简记为X P( ).,随机变量 X的概率分布为,普哇松分布常用于稠密性的问题中.如:炸弹爆炸时的 碎弹片数;显微镜下某种微生物的数目;某段时间
10、内到达公 共汽车站的乘客数;某电话交换台单位时间内收到的呼唤次 数;宇宙中单位体积内星球的个数;耕地上单位面积内杂草 的数目,害虫数;织机上断头的数目;原子放射离子数等, 都服从或近似服从泊松分布.,普哇松分布的优点:有关计算可查表.,3. Poisson分布,2019/8/27,14,例 某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数X服从参数=3的普哇松分布,写出X的概率函数,并求一分钟内呼唤5次的概率.,解:,X的概率函数为,例2-10 (P34)设X 服从泊松分布,已知P(X=1)=P(X=2),求,P(X=4).,解:,(舍去),2019/8/27,15,(2)二项分布的泊松逼近Poisson
11、定理,理论上可证明泊松分布P()是二项分布B(n, p)的极限. 设X B(n, p),当 n 较大,p 较小, 而 = n p大小适中,则X 近似地服从参数为 = n p 的泊松分布.,解: X “该单位患有这种疾病的人数”,则X B(5000,0.001) .,P(X2)=,X可以近似地服从参数为 = n p=5 的泊松分布,P(X 2),例8 已知某种疾病的发病率为1/1000,某单位共有5000人,问该单位至少有2人患有这种疾病的概率有多大?,所求的概率为:,=1-0.006738-0.03369=0.959572,2019/8/27,16,例2-5 (P31)对某一目标不断进行射击,
12、直到命中目标为止,如果每次射击命中率为p,求射击次数的分布.,解:X表示“命中目标时的射击次数”,则X=1,2,,(X=k)表示射击到第k次才命中目标,,即前k-1次不中,第k次击中.,则称 X 服从参数为 p 的几何分布.,2019/8/27,17,一、分布函数的概念,2.2 随机变量的分布函数,1.定义 设X为一个随机变量,对任意实数 x,函数 F(x) = P(X x) 称为随机变量 X的分布函数.,注 (1)F(x)表示随机变量X的取值落入区间(-,x的概率.,(2)F(x) 的定义域为D(F)=(-,+), 值域为Z(F)=0, 1.,X -1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.3
13、 0.4,F(1)=,P(X1),=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1),=0.6,F(1.5)=,P(X1.5),=0.6,F(2)=P(X2),=1,2019/8/27,18,2.分布函数F(x)的性质,(3) F(x)是x的不减函数,即对x1 x2,有F(x1)F(x2);,(2),(4) F(x)是右连续函数,且至多有可列个间断点.即,(1) x ,都有 0F(x)1;,重要公式,对于任意实数x1x2,有,P(x1 X x2)= F(x2)-F(x1),2019/8/27,19,例2-11 (P36)随机变量X的概率分布为:,解:(1)由概率分布知:,求: (1)常数c, (2)
14、分布函数F(x), (3)P(-0.2X1.5); P(X0).,0.2+0.1+0.3+c=1,得 c=0.4,(2),0,P(X=-1)=0.2,0.6,F(x)=P(Xx)=,1,(3)P(-0.2X1.5)=P(X=0)+P(X=1)=0.4;,X -1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.3 c,F(x)=P(Xx)=,F(x)=P(Xx)=,P(X=-1)+P(X=0)=0.3,F(x)=P(Xx)=,F(x)=P(Xx)=,P(X0) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.8,2019/8/27,20,练习,求F(x).,2019/8/27,21,1.连续型随机变量取
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