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1、13.3 移动平均过程MA(q) 一、移动平均过程的概念 设有无穷自回归过程,(13.3.1),其中ut为白噪声,1。 (13.3.1)的滞后算符形式,(1+ L +2L2 +3L3 + ) yt = ut (13.3.2) 因为 (1+ L +2L2 +3L3 +)-1 = 1- L (13.3.3),所以,(13.3.2)可以改写成 (13.3.4),由(13.3.4)可以看出yt可以表示成两个白噪声的加权和。 我们把由白噪声序列各元素的加权和表示的随机过程 称为移动平均过程,过程中参数的数目称为移动平均 过程的阶。q阶移动平均(Moving Average)过程简记为 MA(q)。它的形
2、式是 (13.3.5),或写成更一般的形式: (13.3.5) 显然,( 13.3.4)便是一阶移动平均过程MA(1),而且它可 以由无穷自回归过程(13.3.1)转换而成。,二、移动平均过程的可转换条件 在13.2中,我们已经知道,自回归过程满足平稳条 件时,有限阶自回归过程(13.2.2)可以转化为无穷阶移 动平均过程(13.2.10),即表示成白噪声序列各元素的 线性组合。,那么,移动平均过程是否能转换为自回归过程?应该 说,在一定条件下是可以转换的。为此我们把(13.3.5) 改写成 (13.3.6) 引进算符多项式: (13.3.7),称为q 阶移动平均算符。利用(13.3.7)可将
3、 (13.3.6)表示为,(10.3.8),或,(13.3.9),如果 收敛,那么(13.3.9)式表示移动平均过 程可以表示成自回归过程。与自回归过程讨论类似, 收敛的充要条件是 的特征方程:,(13.3.10),的所有的根的模大于1即z1,也就是这些根都 在复单位圆的外面。这个条件称为移动平均过程的 可转换条件。满足这个条件的移动平均过程称为可逆 的(Invertible)。,今后如果没有特别声明,我们总是假定所有移动平 均过程都是可逆。 这个结论的直接应用是,我们可以将阶数很高的自 回归过程近似地用阶数较低的移动平均过程来代替, 而将阶数很高的移动平均过程近似地用阶数较低的 自回归过程来
4、代替,从而实现用尽可能少的参数来 构造随机过程模型的目的。,三、移动平均过程阶数的确定 对于给定的样本,怎样为生成移动平均过程确定合 适的阶数?为了回答这个问题,我们首先来研究反映 移动平均过程特征的自相关函数。 (一)自相关函数 为了讨论方便,我们先研究MA(1)过程,(13.3.11),因为ut和ut-1是白噪声,所以,它的期望值为 (13.3.12),方差为,(13.3.13),协方差,(13.3.14),以上讨论表明(13.3.11)是平稳的。由于 不 依赖时间t,而只依赖k,所以可以用 表示。于是, 自相关函数为,(13.3.15),(13.3.15)式表明MA(1)只有1期记忆,即
5、当k1时 =0。,对MA(q)模型:,(13.3.16),与MA(1)的推导过程类似,可得结果:,(13.3.17),(k =1,2,q) (13.3.18),于是,(13.3.19),对平稳过程,方差 必须有限,因此要求 ,对无穷阶移动平均过程要求 。这意味着 的绝对值必须随q 的增大而减少。,由(13.3.19)试算可以看出,MA(q)的 也将随k的增大 而减少,与自回归过程不同的是当 kq时,k = 0。 这表明MA(q)只有q期记忆,即当kq时,k = 0。,(二)阶数的确定 MA(q)只有q期记忆这一重要性质,可以帮助我们对模 型进行识别。假设时间序列样本 已经给 定,我们便可利用(
6、13.1.14)公式:,(13.3.20),(这里的已经中心化了,即 =0。)计算出各阶自相 关函数的估计值 ,然后对每一个 (k =1,2,) 进行显著检验。 可以证明,当样本容量很大时, 近似服从期望 值为0,方差为 的正态分布。 于是可以有与自回归过程类似的检验方法: 1.构造95%的置信区间,2.计算样本的各阶自相关系数 (k = 1,2,3,)。,3.考察 是否落在这一区间之内。如果 的数值落 在此区间之外,表明k显著 (即k 0),否则不 显著(即k = 0)。若对k q时,k皆显著,对kq时, k皆不显著,则在0.05显著水平下,产生样本的移动 平均过程的阶数确定为q。,四、移动
7、平均过程的参数估计 设有移动平均过程MA(q),(13.3.21),估计参数的直观想法是利用 与之间的关系,(k =1,2,q) (13.3.22),将此式中的k用相应的估计值代替,便得到关于 的q个非线性代数方程,解这个非线性方程组便 可得到q个的估计值。(这只是理论上的求解,实际 上我们可以利用EViews进行计算),例13.3.1:样本调查资料如表13.3.1表示。,首先根据数据表13.3.1,计算样本自相关系数,列表 于表13.3.2。 样本自相关系数 表13.3.2,对k进行显著性检验,先构造区间,(13.3.24),与置信区间(13.3.24)进行比较,如图13.3.1所示:,图13.3.1 自相关系数估计值显著性检验,可以看出,只有 = 0.484落在置信区间之外,其余 皆落在区间之内,表明该样本的移动平均过程的 阶数为1,即选定MA(1)过程: (13.3.25),由于(13.3.25)估计较繁杂,所以我们直接用EViews 软件计算:在工作文件主窗口,点击Quick/Estimate Equation 在Equation Specification 对话框中填入 y ma(1) 得到估计结果如图13.3.2所示。,图13.3.2,由图13.3.2得到MA(1)的表达式:,= ut + 0.94 ut-1,
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