13.6数系的扩充与复数的引入.ppt
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1、13.6 数系的扩充与复数的引入 要点梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,bR)的数叫做复数,其中a,b分 别是它的 和 .若 ,则a+bi为实数, 若 ,则a+bi为虚数,若 ,则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di (a,b,c,dR).,实部,虚部,b=0,b0,a=0且b0,a=c且b=d,基础知识 自主学习,(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 (a,b,c,dR). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面. 叫做实轴, 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 ; 各象限内的点都表示 . (5)复数
2、的模 向量 的模r叫做复数z=a+bi的模,记作 或 ,即|z|=|a+bi|= .,a=c,b=-d,x轴,y轴,实数,纯虚数,非纯虚数,|z|,|a+bi|,2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b) (a,bR). (2)复数z=a+bi (a,bR). 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)
3、i,(ac-bd)+(ad+,bc)i,除法: = .(c+di0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .,z2+z1,z1+(z2+z3),基础自测 1.(2009北京)在复平面内,复数z=i(1+2i) 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 z=i(1+2i)=-2+i,复数z在复平面内 对应的点为Z(-2,1),该点位于第二象限.,B,2.下列命题正确的是( ) (-i)2=-1;i3=-i;若ab,则a+ib+i; 若zC,则z20. A. B. C.
4、 D. 解析 虚数不能比较大小,故错误; 若z=i,则z2=-10,故错误.,A,3.(2008浙江)已知a是实数, 是纯虚 数,则a等于( ) A.1 B.-1 C. D.- 解析 因为该复数为纯虚数,所以a=1.,A,4.(2009山东)复数 等于( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解析,C,5.设 为复数z的共轭复数,若复数z同时满足 z- =2i, =iz,则z= . 解析 =iz,代入z- =2i,得z-iz=2i,-1+i,题型一 复数的概念及复数的几何意义 已知复数 试求实数a分别取什么值时,z分别为: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 根据复数z为
5、实数、虚数及纯虚数的 概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a值. 解,题型分类 深度剖析,(2)当z为虚数时, a-1且a6且a1.a1且a6. 当a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时, z为虚数. (3)当z为纯虚数时,有 不存在实数a使z为纯虚数.,(1)本题考查复数集中各数集的分类, 题中给出的复数采用的是标准的代数形式,否则 应先化为代数形式,再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上,还可写成代数 形式的一般表达式.如:对应点在直线x=1上,则z=1+bi(bR);对应点在直线y=x上,则z=a+ai (aR),在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.,知
6、能迁移1 已知mR,复数 -3)i,当m为何值时,(1)zR;(2)z是纯虚数; (3)z对应的点位于复平面第二象限;(4)z对应的 点在直线x+y+3=0上. 解 (1)当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-10 解得m=-3,故当m=-3时,zR. (2)当z为纯虚数时,则有 解得m=0或m=2. 当m=0或m=2时,z为纯虚数.,(3)当z对应的点位于复平面第二象限时, 解得m-3或1m2,故当m-3或1m2时,z对应 的点位于复平面的第二象限. (4)当z对应的点在直线x+y+3=0上时, 当m=0或m=-1 时,z对应的点在直线x+y+3=0上.,题型二 复数相等 已知集合M=(
7、a+3)+(b2-1)i,8,集合 N=3i,(a2-1)+(b+2)i同时满足MNM,MN ,求整数a、b. 解 依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i 或8=(a2-1)+(b+2)i 或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i 由得a=-3,b=2, 经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去.,判断两集合元素的关系,列方程组,分别解方程组,检验结果是否符合条件,a=-3,b=2. 由得a=3,b=-2. 又a=-3,b=-2不合题意.a=3,b=-2. 由得 此方程组无整数解. 综合、得a=-3,b=2或a=3,b=-2. 两复数相等的充要条件是:实部与实部 相等,虚部与虚部相等
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- 13.6 扩充 复数 引入
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