14正交化及正交矩阵.ppt
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1、Schmidt正交化 及正交方阵,. 向量的内积及其性质,向量内积的定义,设,是两个n维向量,令,称是向量X和向量Y的内积。,2. 内积的性质,(1) = ,(3) = + ,(2) = ,3. 向量的范数,称,为向量X的长度 (范数),记为|X|,称|X Y|为X与Y之间的距离.,证明:,令 f(t) = ,,显然函数f(t) 0且,f(t) = + ,= + t + t + t2,= |X|2 + 2t + t2|Y|2,从而有:,即,证毕,称,为向量X与之间的夹角.,即,特别,4. 范数的性质,(5) |X| 0, 且 |X| = 0 X = 0,证明: 由,再由,得到:,即:,证毕,例
2、1. 设X, Y, Z皆是n维向量, 试证明三角不等式:,证明:,例2. 设X, Y是两个相互正交的n维向量, 试证明勾股定理:,证明:,定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。,证明:,设1, 2, , m是一组两两相互正交的非,零向量.,1, 2, , m是一组数,,11 + 22 + + mm = 0,使得,则,0 = ,= j ,又|j|2 0, 所以j = 0, j = 1, 2, , m,从而1, 2, , m线性无关,证毕,二. 向量空间的标准正交基,标准正交基的定义及其性质,定义:设V是一个向量空间,1, 2, , m是V的一组基,若满足:,1)1, 2, , m两两相互正交
3、,2)|j| = 1, j = 1, 2, , m,则称1, 2, , m是向量空间V的一组标准正交基.,定理2 若1, 2, , m是向量空间V的一组标准正交基, = 11 + 22 + + mm是V中的一个向量,则j = , j = 1, 2, , m,证明:,2. Schmidt正交化过程,定理3 若V是Rn的一个非零子空间,则V一定有标准正交基 .,证明:,设1, 2, , m是V的一组基。,取,取,取,设1, 2, , s, s m,是两两正交的单位向量,并且该向量组与1, 2, , s等价.,取,; 当 j = 1, 2, , s 时,显然, 1, 2, , s, s+1是两两正交
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- 14 正交 矩阵
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