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1、1,本课件主要使用工具为office2003,Mathtype5.0, 几何画板4.0, flashplayer10.0,2,第四单元 三角函数与平面向量,3,知识体系,4,5,一、三角函数. 1.任意角的概念、弧度制. 了解任意角的概念. 了解弧度制概念,能进行弧度与角度的互化. 2.三角函数. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.,6,能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( ,)的正弦、余弦、正切,能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性. 理解正弦函数、余弦函数在区间0,2的性质(如单调性、最大和最小值与x轴的交点等).理解正切函数在区间(
2、- ,)的单调性. 理解同角三角函数的基本关系式:sinx2+cosx2=1, =tanx.,7,了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单的实际问题. 3.三角恒等变换. (1)和与差的三角函数公式. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.,8,能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换.能运用上述公式进行简单的恒等
3、变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).,9,4.解三角形. (1)正弦定理和余弦定理.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、平面向量. 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,理解向量的几何表示;,10,2.掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义. 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算性质及其几何意义. 5.了解平面向量的基本定理及其意义. 6.掌握平面向量的正交分解及其坐
4、标表示. 7.会用坐标表示平面向量的线性运算(加、减、数乘). 8.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,11,9.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 10.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 11.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 12.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 13.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.,12,第20讲,任意角的三角函数、同角公式与诱导公式,13,1.了解任意角与弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数
5、(正弦、余弦、正切)的定义. 3.理解同角三角函数的基本关系式: sin2x+cos2x=1, =tanx.,14,4.能利用单位圆中的三角函数线推导正弦、余弦、正切的诱导公式. 5.能灵活应用同角公式、诱导公式进行简单三角函数的化简、求值、证明.,15,1.下列说法正确的是( ),B,A.若的终边在第一象限,则可以是正角、负角或零角 B.6360+(为角度)与-6+(为弧度)的终边相同,但大小不相等 C.一条弦的长度等于半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数为 D.若为第二象限角, 则2n+ 2n+ ,nZ,16,选项A中零角一定为坐标轴上角,故错;由终边相同概念和角度与弧度互化知,B正确;选项
6、C中弧度数还可能为 ;D中由第二象限角范围得n+ n+ ,nZ,故错.,17,2.若角的终边经过点P(3a,-4a)(a0),则sin的值为( ),D,A.- B. C.- D.,P(3a,-4a)(a0),则x=3a,y=-4a, 则|OP|=5|a|=-5a,故sin= = .,18,3.(2009季延中学高三月考)已知x为第二象限角,且tan2x+3tanx-4=0, 则 = .,tan2x+3tanx-4=0, 则tanx=-4或tanx=1(舍去). 由同角公式得 = = .,19,=- +,原式=tan(360-60)+ =-tan60+ = .,4.(2010东北模拟)tan30
7、0+ 的值为 .,20,5.化简:若为第二象限角, 则 - = .,-2tan,原式= = = =-2tan.,21,1.角的概念的推广 (1)任意角、正角、负零和零角. (2)象限角、轴线角. (3)终边相同的角:可以用 .表示.,k360+(kZ)或k2+(kZ),22,2.任意角的三角函数 P(x,y)为角终边上一点,|OP|=r,则 sin= , cos= , tan= (x0). 3.同角三角函数关系式平方关系:sin2+cos2= . 商数关系:tan= .,1,23,4.诱导公式 (1)2k+,-,的三角函数值等于的 函数值,前面加上把角看成 时 的符号.即“名称不变,符号看象限
8、”. (2) 的三角函数值等于的 .函数值,前面加上把看成 . 时 .的符号.即“名称要变,符号看象限”. (3)k (kZ)的三角函数值,可概括为:“奇变偶不变,符号看象限”.,同名,锐角,原函数值,余名,锐角,原函数值,24,题型一 角的相关概念及角的度量互化,例1,(1)集合M=x|x= 180+45,kZ, N=x|x= 180+45,kZ,则集合M与N的关系为 ;,M N,25,(2)把-1305化为2k+(02, kZ)的形式是( ),A.-7- B.-6- C.-8+ D.-9+,C,(1)先变形,再对整数k的奇、偶展开讨论,找到角终边的具体位置,用数形结合法求解;(2)先把角度
9、化成弧度,再写成2k+的形式,满足、k的限制条件.,26,(1)因为M=x|x=(2k+1)45,kZ表示终边落在四个象限的平分线上的角的集合.同理N=x|x=(k+1)45,kZ表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合,所以M N. (2)因为1305=1305 = =7+ , 所以-1305=-7- =-8+(- ) =-8+ . 此时k=-4,= ,故选C.,27,探寻以集合形式表示的终边相同的角的关系时,对整数k的讨论最关键;若题中给出了 (m为已知整数,kZ),常分k=mk,mk+1,mk+2,mk+(m-1)(kZ)完全讨论,角度与弧度的互化,除满足限制条件外,还需注意结果
10、的纯洁性:角度、弧度要“分家”.,28,题型二 三角函数的化简、求值,例2,已知cos=- ,且 , 求 的值.,从cos=- 中可推知sin,tan的值,再用诱导公式即可求值.,29,因为cos=- ,且 , 所以sin= ,tan=- , 所以原式= =-tan= .,30,(1)应用诱导公式进行三角函数的化简,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断,一般常用“奇变偶不变,符号看象限”的口诀,解题思路是“化负角为正角,化复杂角为简单角,化非锐角为锐角”,即“去负脱周化锐”三步. (2)掌握常用的勾股数组“3,4,5”,“5,12,13”,“7,24,25”,“8,15,17”,“9,40
11、,41”,快速给值求值.,31,化简:,原式= =-1.,32,题型三 三角关系式的应用,已知sin(-),cos是方程3x2- x+m=0的两个根,且 . (1)求m与sin-cos的值; (2)若f(tan)=3sin2-2sincos-3,求f(cos-sin)的值.,例3,33,(1)由根与系数的关系得sin+cos,sincos的值,再根据“sin+cos,sincos,sin-cos”中“知一求二,知二求参”,配上公式正确求值. (2)先求出f(x)的表达式,再代值求值.,34,(1)依题意 sin(-)+cos= sin(-)cos= , 即 sin+cos= sincos= ,
12、 由2-2=1,得( )2-2 =1,解得m=- . 又因为 0,cos0, 所以sin-cos= = = .,35,(2)因为f(tan)=3sin2-2sincos-3 = -3 = -3. 所以f(cos-sin)=f(- )= -3 =- .,36,(1)在“sin+cos,sincos,sin-cos”中“知一求二”,宜用整体思想,利用平方转换,常用结论为: (sincos)2=12sincos, (sin+cos)2+(sin-cos)2=2; (sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos. (2)型如 通过分子分母同除以cos,弦化切、异名化同名; asin2+bs
13、incos+ccos2通过添分母(sin2+cos2),再分子、分母同除以cos2,化弦为切、统一函数名.,37,已知- x0,sinx+cosx= . (1)求sinx-cosx的值; (2)求 的值.,38,(方法一)(1)由sinx+cosx= ,两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= , 得2sinxcosx=- , 所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= , 又因为- 0,sinx-cosx0, 故sinx-cosx=- .,39,(2)原式= =sinxcosx(2-cosx-sinx) =(- )(2- ) =- .,40,(方法二)(1)联立方程
14、组 sinx+cosx= sin2x+cos2x=1 由得sinx= -cosx,将其代入, 整理得25cos2x-5cosx-12=0, 所以cosx=- 或cosx= . 因为- x0,所以 sinx=- cosx= , 故sinx-cosx=- .,41,(2)原式= =sinxcosx(2-cosx-sinx) =(- ) (2- + ) =- .,42,1.在求值与化简时,常用的方法有: 弦切互化,主要公式为tanx= ,sinx=tanxcosx; 和积互化,利用(sinxcosx)2=12sinxcosx的关系进行变形、转化;,43,巧用“1”的变换:1=sin2x+cos2x.
15、 2.在求值、化简时,要细心观察三角函数式的特征,灵活、恰当地选用公式.思路一:切化弦,思路二:化为同名函数. 3.运用诱导公式的关键在于函数名称与符号的正确判断和使用.,44,(2009重庆卷)下列关系式中正确的是( ),C,A.sin11cos10sin168 B.sin168sin11cos10 C.sin11sin168cos10 D.sin168cos10sin11,45,因为sin168=sin(180-12)=sin12, cos10=cos(90-80)=sin80. 由正弦线可知,y=sinx在区间0,90上单调递增, 因此sin11sin12sin80, 即sin11sin168cos10,故选C.,46,(2010广东卷)已知向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直,其中(0, ). (1)求sin和cos的值; (2)若sin(-)= ,0 ,求cos的值.,47,(1)ab=(sin,-2)(1,cos)=sin-2cos=0,即sin=2cos. 又sin2+cos2=1,(0, ), 从而sin= ,cos= . (2)sin(-)=sincos-cossin= . 将sin= ,cos= 代入上式整理得2cos-sin= . 结合sin2+cos2=1,0 ,可得cos= .,48,本节完,谢谢聆听,立足教育,开创未来,
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