2011年《创新设计》10-8.ppt
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1、(理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题),10.8 离散型随时机变量的期望与方差,1数学期望:一般地,若离散型随机变量的概率分布为 则称Ex1p1x2p2xnpn为的数学期望,简称期望 2方差: 对于离散型随机变量,如果它所有可能取的值是x1,x2, xn,且取这些值的概率分别是p1,p2,pn,那么,D(x1 E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn称为随机变量的均方 差,简称为方差,式中的E是随机变量的期望 3期望的性质:E(ab)aEb. 4方差的性质:(1)D(ab)a2D;(2)DE2(E)2.,1设随机变量的取
2、值为1,2,3,4.P(k)akb(k1,2,3,4), 又的数学期望E3,则ab_. 答案:,2某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 则该公司一年后估计可获收益的期望是_元 答案:4 760,3已知 服从二项分布,即B(100, ),则E(23)_. 解析:由已知E100 50,E(23)2E3103. 答案:103,4(长沙市一中高三月考)某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的6位数N ,其中N的各位数字中,n1n61,nk(k2,3,4,5)出现0的概率为 ,出现1的概率
3、为 ,记n1n2n6,问 4时的概率为_,的数学期望是_ 解析:P(4) ,的数学期望是 2P(2)3P(3)4P(4)5P(5)6P(6) . 答案:,1. 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列 然后利用公式计算 2由的期望方差求ab的期望方差是常考题之一,常见根据 期望和方差的性质求解,【例1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是 A1、A2、A3, B队队员是B1、B2、B3,按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间的胜负概率如下:,现按表中对阵方式出场胜队得1分,负队得0分,设A队,B队最后所得总分 分别为, (1)求,的概率分布;(2)求E,E.
4、,解答:(1),的可能取值分别为3,2,1,0. P(3) ,P(2) P(1) ,P(0) 根据题意3,所以 P(0)P(3) ,P(1)P(2) , P(2)P(1) ,P(3)P(0) . (2)E ; 因为3,所以E3E .,变式1.甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束设各局比赛相互间没有影响令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望(精确到0.000 1),解答:由已知随机变量的取值为3,4,5, P(3)0.630.430.28; P(4) 0.620.40.6 0.420.60.40.37
5、4 4; P(5) 0.620.420.6 0.420.620.40.345 6. 因此的概率分布列为: 的期望E30.2840.374 450.345 64.065 6.,二项分布的期望和方差除了根据定义去求,可利用公式求解若B(n,p),则Enp,Dnp(1p),【例2】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求: (1)随机变量的分布列;(2)随机变量的期望,解答:解法一:(1)的所有可能值为0,1,2,3,4,5. 由等可能性事件的概率公式得 P(0)
6、,P(1) P(2) ,P(3) P(4) ,P(5) 从而,的分布列为:,(2)由(1)得的期望为: E 解法二:(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重 复试验,故B(5, ),即有P(k) ,k0,1,2,3,4,5. 由此计算的分布列如解法一 (2)E .,解法三:(1)同解法一或解法二 (2)由对称性与等可能性,在三层的任一层下电梯的人数同分布, 故期望值相等即3E5,从而E .,变式2. 2010年广州亚运组委会向民间招募防暴犬,首先进行入围测试,计划考查三类问题:体能;嗅觉;反应,这三类问题中只要有两类通过测试,就可以入围某驯犬基地有4只优质犬参加测试,已
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