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1、主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三向量组的秩与矩阵秩的关系,第3.4节 向量组的极大 线性无关组,一、等价向量组,若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示,就称向量 组A与向量组B等价。,即,等价向量组的基本性质:,(2),则向量组 必线性相关。,推论2:两个线性无关的等价的向量组,必包含相同个数的向量。,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,(1) 只含零向量的向量组没有极大无关组(零向量线性相关)。,简称极大无关组。,那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。,(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,(3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性
2、 表示。,(2)向量组A中每一个向量均可有 线性表示。,例如:在向量组 中,,注:一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,极大无关组的一个基本性质:,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又,向量组的极大无关组不唯一,而每一个极大无关组都 与向量组等价,所以:,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量,可得,定理:一个向量组的任意两个极大无关组等价,且所含向量的个数相同。,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3:向量组的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩, 记作,例如: 向量组 的,秩为2。,1. 向量组的秩,(4)等价的向量组必有相同
3、的秩。,关于向量组的秩的结论:,(1)零向量组的秩为0。,注: 两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相 同的秩,并且其中一个可以被另一个 线性表示,则这两个向 量组等价。,2. 矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这 些行向量组成,把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可 被认为由这些列向量组成。,定义4:矩阵的行向量的秩,就称为矩阵的行秩;矩阵的列向 量的秩,就称为矩阵的列秩。,例如:矩阵,的行向量组是,因为,由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,问题:矩阵的行秩 矩阵的列秩,引理1:矩阵的初等行变换不改变矩
4、阵的行秩。 (列) (列),(1)对换矩阵A的两行,A的行向量组所含向量未变,所以向量组的秩不变, 所以矩阵A的行秩不变。,(2)用非零常数k乘以A的第i行,即A的行秩不变。,(3)非零常数k乘以第i行后加到第j行上,所以两个向量组等价,所以行向量组的秩不变,所以矩阵的行秩不变。,引理2:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行),则,下面证明A的列向量组的极大无关组,经过初等行变换变为,是矩阵B的列,因为P为初等矩阵的乘积,所以P可逆。,线性无关。,向量组的极大无关组。,(2)再证B的列向量组中任一向量,可由向量组,线性表示。,是A的列向量组的极大无关组,使得,所以,B的列秩rA的列
5、秩,综上,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理:矩阵的行秩矩阵的列秩,证:任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式,,而它的行秩为r,列秩也为r。,又,初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,,所以,A的行秩rA的列秩,定义5:矩阵的行秩矩阵的列秩,统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA,或秩A。,推论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,结论:行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,从而,矩阵A的秩矩阵A的行向量组的秩非零行的行数.,求矩阵秩的方法:把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,解:看行秩,例2:求上三角矩阵的秩,线性无关,,所以矩阵的秩行向量组的秩
6、3非零行的行数,求向量组的秩、极大无关组的步骤:,r(A)=B的非零行的行数,(3)求出B的列向量组的极大无关组,(4)A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。,引理2:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行),解:,又因为B的1,2,5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑:是否还有其他的极大无关组?,与,解:设,则B的1,2列为极大无关组,且,2.3 矩阵秩的性质,(1) 等价的矩阵,秩相同。,(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘,秩不变。,(4),当AB=0时,有,3.矩阵的秩与行列式的关系,定理:,n阶方阵A,,即A为可逆矩阵(也称为满秩矩阵),A的
7、n个行(列)向量线性无关,A的n个行(列)向量线性相关,主要内容:,一向量空间的概念,二向量空间的基与维数,三向量在基下的坐标,四思考练习题,第3.5节 向量空间,一、 向量空间的概念,说明:,n维向量的全体 ,也是一个向量空间。,定义1: 设 V 为n 维向量的集合,如果集合V 非空, 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭, 那么就称集合V 为向量空间,集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指,例1: 3维向量的全体 是一个向量空间。,例2: 判别下列集合是否为向量空间.,解:,所以, 是向量空间。,(2) 不是向量空间。,是否为向量空间.,(这个向量空间成为由向量a,b生成的向量空间),一般地,由向量组 所生成的向量空间为,例3:设 a,b为两个已知的n维向量,判断集合,解:,所以V 是一个向量空间。,二、 向量空间的基与维数,且满足:,注(1)只含有零向量的向量空间没有基,规定其维数为0。,(2)如果把向量空间看作向量组,可知,V的基就是向 量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩。,(3)向量空间的基不唯一。,定义2:设V是向量空间,如果r个向量,例4,解:,定义3:设向量空间V的基为 ,对于 ,在 基下的坐标(列向量),表示式 唯一, 称 为,三、向量在基下的坐标,四、思考练习题,解答,
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