3.6二维随机变量函数的分布.ppt
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1、第五节 二维随机变量的函数的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 小结,在第二章中,我们讨论了一维随机变量函数的分布,现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时,如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?,引言,一、二维离散型随机变量函数的分布,则 是一维的离散型随机变量,其分布列为,例 1 设 的联合分布列为,分别求出(1)X+Y;(2)X-Y;(3)X2+Y-2的 分布列,解 由(X,Y)的联合分布列可得如下表格,解 得所求的各分布列为,1、Z=X+Y 例2 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,
2、这里积分区域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.,二、二维连续型随机变量函数的分布,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地,当 X 和 Y 独立,设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,
3、例3 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分 布函数分别为FX(x) 和
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- 3.6 二维 随机变量 函数 分布
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