4、随机向量及其概率分布.ppt
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1、第4章 随机向量及其概率分布,4.1 随机向量的联合分布 4.2 边缘分布 4.3 条件分布 4.4 随机变量的独立性 4.5 随机向量函数的分布,4.1 随机向量的联合分布,4.1.1 二维随机变量的联合分布函数 引例 假设某商店一天内的顾客人数X服从参 数为1000的Poisson分布;购买某种商品的人数 记为Y,若每个顾客购买这种商品的概率为 0.25,且各个顾客是否购买这种商品是相互独 立的。求一天有m个顾客进入商店且有n个顾客 购买这种商品的概率。,定义 设随机试验的样本空间为,X、Y为 定义在上的随机变量,则称(X,Y)为一个二维 随机向量。 若(X,Y)是一个二维随机变量,则称函
2、数 F(x,y)=P(Xx,Yy) (等式右边表示随机事件Xx、Yy的乘积的 概率)为随机变量(X,Y)的(联合)分布函数。,二维随机向量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质: 0F(x,y)1且F(-,y)=F(x,-)=0, F(+,+)=1; 当x固定时F(x,y)是y的单调不减函数,当y 固定时F(x,y)是x的单调不减函数; F(x,y)最多有可列个间断点,且在间断点 (x0,y0)处关于x和y都是右连续。,例 已知(X,Y)的分布函数为 求: A、B; 概率P(0X1,0Y1)。,4.1.2 二维离散型随机向量 定义 若二维随机变量(X,Y)只可能取有限个 或可列个值,则称(X,
3、Y)为二维离散型随机向量。 设二维离散型随机向量(X,Y)的一切可能取 值为(xi,yi),则称 P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3, 为X与Y的联合分布律(列)或(X,Y)的概率分布。,离散型随机向量的联合分布律的表示方法: 公式法: P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3, 列表法:,例 从分别标有1,2,2,3,3,4的6个球中任取3个 球,用X、Y分别表示其中的最小号码和最大号 码,求: X、Y的联合概率分布; 概率P(X+Y5)。 离散型随机向量的联合概率分布的性质: pij0; p11+p12+p1n+p21+p22+p2n+pn1+pn2+pnn+
4、=1。,4.1.3 二维连续型随机向量 定义 对二维随机向量(X,Y),若存在非负可 积函数f(x,y),有 则称(X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为X与Y 的联合概率密度函数或(X,Y)的密度函数,简记 为(X,Y)f(x,y)。,连续型随机向量的密度函数f(x,y)的性质: f(x,y)0; 例 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函 数为 求:A;P(X+Y1)。,定理 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度 函数为f(x,y),联合分布函数为F(x,y)。则有 例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 求:A;P(XY);(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)。,例 随机
5、向量(X,Y)的联合概率密度函数为 求:A;P(XY)。 定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为 则称随机向量(X,Y)服从D上的均匀分布。,定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为 则称随机向量(X,Y)服从二维正态分布,记为 (X,Y)N(1,2,12,12,r)。,4.2 边缘分布,4.2.1 边缘分布函数 定义 对二维随机向量(X,Y),随机变量X、Y 的分布函数称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。 定理 若(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则 (X,Y)关于X的边缘分布函数为FX(x)=F(x,+), (X,Y)关于X的边缘分布函数为FY(y)=F(+,y)。,4.2.2 二
6、维离散型随机向量的边缘分布律 定义 若(X,Y)是二维离散型随机向量,则随 机变量X、Y的概率分布称为(X,Y)关于X、Y的边 缘概率分布。 定理 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概 率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3,,则 (X,Y)关于X的边缘概率分布为 pi=P(X=xi)=pi1+pi2+pij+,i=1,2,3,, (X,Y)关于Y的边缘概率分布为 pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+,j=1,2,3,,,求边缘概率分布时,可在表格上直接进行:,例 若离散型随机向量 (X,Y)的联合概率分布如右 求(X,Y)关于X、Y的边缘概 率分布。 例 若
7、离散型随机向量 (X,Y)的联合概率分布如右 求(X,Y)关于X、Y的边缘概 率分布。,4.2.3 二维连续型随机向量的边缘密度 定义 若(X,Y)为二维连续型随机向量,则称 随机变量X、 Y的概率密度为(X,Y)关于X、Y的边 缘概率密度。 定理 若(X,Y)f(x,y),则(X,Y)关于X、Y的边缘 概率密度分别为:,例 若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率 密度为: 求: c的值; (X,Y)关于X、Y的边缘概率密度。,4.3 条件分布,4.3.1 条件分布函数 定义 (X,Y)为二维随机向量,若对固定的x, 极限 存在,则称之为在X=x下Y的条件分布函数,记 为FY|X(y|x)。
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- 随机 向量 及其 概率 分布
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