8-1向量及其线性运算.ppt
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1、空间解析几何与向量代数,第八章,一、向量概念,二、向量的线性运算,四、利用坐标作向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,第一节 向量及其线性运算,向量:,既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。,向量表示:,模长为1的向量.,模长为0 的向量.,向量的模:,向量的大小.,或,或,或,一、向量的概念,1、概念,单位向量:,零向量,自由向量:,不考虑起点位置的向量.,起点为原点的向量.,向径:,一、向量的概念,2、两非零向量的关系,相等:,大小相等且方向相同的向量.,平行或共线:,方向相同或相反的两个非零向量.,垂直:,方向成90夹角的两个非零向量.,注意:,由
2、于零向量的方向可以看成任意的,故可以认为 零向量与任何向量都平行或垂直。,共面:,把若干个向量的起点放到一起,若它们的终点和公共起点在同一平面上,则称这些向量共面., 减法,二、向量的线性运算,1、向量的加减法, 加法:,(平行四边形法则),(平行四边形法则有时也称为三角形法则),2、向量与数的乘法,二、向量的线性运算, 定义:,规定:,因此,单位向量的表示,xoz平面,过空间一定点O,作三条相互垂直的数轴,三、空间直角坐标系,1、坐标系的构成,卦限,三个坐标平面将空间分成八部分,每一部分叫做一个卦限.,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,2、向量的坐标表示
3、,三、空间直角坐标系,加法,1、向量的加减法与数乘,四、利用坐标作向量的线性运算,减法,数乘,2、平行向量的坐标表示式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,1、向量的模与两点间的距离公式:,五、向量的模、方向角、投影,例1. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,五、向量的模、方向角、投影,五、向量的模、方向角、投影,练习 已知两点A(5,3,1) 和B (1,0,5),求与,解,2、方向角与方向余弦,五、向量的模、方向角、投影,空间两向量的夹角的概念:,类似地,可定义向量与一轴的夹角.,2、方向角与方向余弦,五、向量的模、方向角、投影,空间两向量的夹角的概念:,类似地,可定义向量与一轴的夹角.,非零向量与三坐标轴的正向间的夹角称为,称为向量的方向角,显然,方向角,2、方向角与方向余弦,五、向量的模、方向角、投影,非零向量的三个方向角的余弦,称为向量的方向余弦.,方向余弦,2、方向角与方向余弦,五、向量的模、方向角、投影,解,例,解,五、向量的模、方向角、投影,3、向量在轴上的投影,x轴与向量 的关系,向量在u轴上投影,五、向量的模、方向角、投影,向量在三坐标轴上的投影,向量投影的性质,解,五、向量的模、方向角、投影,
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- 向量 及其 线性 运算
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