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1、山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,8-3.向量的数量积与向量积,1.数量积 2.向量积,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,一、向量的数量积,引例. 设一物体在常力 F作用下,沿与力夹角为,的直线移动,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,1.向量的投影的概念,设a 、b0,将其始点移至同一点O,,为向量a 与b之间的夹角,,两非零向量的夹角:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,2.数量积的定义,记为ab,,两个向量a与b的数量积等于,又称数积、内积、点积,
2、其值为一个数量。,及其夹角余弦的乘积,,即ab= |a| |b|cos=,两个向量的模|a|、|b|,其中,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,性质,(为什么?),ab= |a| |b|cos,为两个非零向量,则有,(为什么?),规定:零向量垂直于任何向量,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,练习:P207 习题8-3 第1题,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例1. 证明余弦定理,证:,则,如图 . 设,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,3. 数量积的坐
3、标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,4.两向量的夹角公式, 得,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,相关例题:见课本203页,注意:,思考:求一个向量需要知道几个条件?,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,解: 因,所以,构成一个等边三角形且,且,求,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例4. 设均匀流速为,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的
4、夹角为,且,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,注意:,ab是一个向量;而且其特征为方向与a与b都垂直,模等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。即:,思考: 三角形面积,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配
5、律,(3) 结合律,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,4. 向量积的坐标表示式,设,则,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,向量积的行列式计算法,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,向量a与b平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0,上式说明:两非零向量平行对应坐标成比例;,上式中,若有分母为零,则对应的分子也为零。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,相关例题:课本206页例14例17,请练习:710,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,补充例1.已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,2. 向量关系:,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,证: 由三角形面积公式,所以,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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