《几何与代数》科学出版社第四章n维向量6.ppt
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1、,几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,线 性 代 数,一、主要任务,解线性方程组,线性方程组,方程间 的关系,向量间 的关系,矩阵的性质和运算,行列式 的运算,核心工具初等变换,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,线性方程组的各种形式:,1) 一般形式:,2) 矩阵形式:,3) 向量形式:,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,第三章 线性方程组,2. 线性方程组的相容性,定理. 设ARmn, bRm, 则,(1)当r(A, b) = r(A)+1时, Ax = b无解; (2) 当r(
2、A, b) = r(A) = n时, Ax = b有唯一解; (3) 当r(A, b) = r(A) n时, Ax = b有无穷多解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量.,推论. 设ARmn, 则,(1) 当r(A) = n时, Ax = 只有零解; (2) 当r(A) n时, Ax = 有非零解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量.,3.1 线性方程组和高斯消元法,一. 线性方程组解的存在性和唯一性,命题. 设ARmn, bRm, 则,(1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解; (3) r(A, b)
3、 = r(A) n Ax = b有无穷多解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量.,推论. 设ARmn, 则,(1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量.,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,命题. 设ARmn, bRm, 则,(1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解; (3) r(A, b) = r(A) n Ax = b有无穷多解, 且通解中含有nr(A)个自由未知量.,Ax = b 有解,b 能由列向量组
4、I:A1,An 线性表示,向量组 I:A1,An与向量组II:A1,An,b等价, r(A) = r(A, b),一. 线性方程组解的存在性和唯一性,?,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,Ax = b 有解,b 能由列向量组 I:A1,An 线性表示,向量组 I:A1,An与向量组II:A1,An,b等价, r(A) = r(A, b),命题. 设ARmn, bRm, 则,(1) r(A, b) = r(A)+1 Ax = b无解; (2) r(A, b) = r(A) = n Ax = b有唯一解; (3) r(A, b) = r(A) n Ax = b有无穷多解, 且通解中含
5、有nr(A)个自由未知量.,Ax = b 有唯一解,b 能由列向量组A1,An线性表示, 表示方式唯一, r(A) = r(A, b),且A1,An线性无关, r(A) = r(A, b) = n,一. 线性方程组解的存在性和唯一性,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn, 则,(1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解.,一. 线性方程组解的存在性和唯一性,Ax = 只有零解, A1,An线性无关, r(A) = r(A1,An) = n,只有零解,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn,
6、则,(1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解.,Ax = 有非零解, A1,An线性相关,有非零解, r(A) = r(A1,An) n,Ax = 只有零解, A1,An线性无关, r(A) = r(A1,An) = n,只有零解,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn, 则,(1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解.,若有非零解, 这些解具有哪些性质?,也是 Ax=0 的解.,由 是Ax=0的解, 即,性质1,也是 Ax = 0 的解.,性质2,由 是Ax = 0的解,
7、 即,k,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,推论. 设ARmn, 则,(1) r(A) = n Ax = 只有零解; (2) r(A) n Ax = 有非零解.,若有非零解, 这些解具有哪些性质?,若Ax = 0 有非零解, 则这些解的任意线性组合仍是解。,K(A) = xRn| Ax = ,齐次线性方程组的解空间,即A的核空间或零空间,若有非零解, 如何找到所有的(无穷多个)解?,只要找到向量空间K(A)的一个基,就能表示所有解.,(基础解系),第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,二. 齐次线性方程组的基础解系,1. Ax = 0的一组解1, 2, s称为一个基础解
8、系:,(1) 1, 2, , s 线性无关;,(2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, , s线性表示.,那么该方程组的通解就可表示成 x = k11 +k22+kss, 其中k1, k2, ,ks为常数. 这种形式的通解称为Ax =0的结构式通解.,K(A) = xRn | Ax =,齐次线性方程组的解空间,注1:基础解系是Ax = 0解向量组的极大无关组, 所以基础解系不唯一,且任两个基础解系等价.,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,向量组的极大无关组,(i) I0l.i.; (ii)II0,I0,l.d. I可由I0线性表示,命题:如果r(1,2,s)= r, 则1,2
9、,s中任意 r个线性无关的向量均为1,2,s的极大无关组.,极大无关组不唯一,任两个极大无关组都等价, 且含有相同个数(秩)的向量.,向量空间V的基为向量组V中的极大无关组.,V的维数为向量组的秩.,齐次线性方程组的解空间V=xRn| Ax=0的基础解系为向量组V的极大无关组, V的维数为nr(A).,定理4.14 设ARmn, r(A)=rn,则dim(K(A)=nr,即Ax = 的任一基础解系中均含有nr个解向量.,x1 = c1,r+1xr+1 + c1,r+2xr+2 + + c1nxn,x2 = c2,r+1xr+1 + c2,r+2xr+2 + + c2nxn, ,xr = cr,
10、r+1xr+1 + cr,r+2xr+2 + + crnxn,证明:,B为行最简形矩阵,r(B) = r(A) = r, Bx = 0有 nr 个自由未知量.,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,增维也 无关,= xr+11 + xr+2 2 + + xn n-r,1 , 2 , , n-r 线性无关,任意解x,可由其线性表示,基础解系,定理4.14 设ARmn, r(A)=rn,则dim(K(A)=nr,即Ax = 的任一基础解系中均含有nr个解向量.,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,为一基 础解系,,c1,r+1 cr,r+1 1 0 0,c1,r+2 cr,r
11、+2 0 1 0,c1n crn 0 0 1,含有nr个解向量.,设1, 2, t为任一基础解系.,则1, 2, t线性无关,且与1, 2 , nr等价.,t =nr,即任一基础解系中均含有nr个解向量.,定理4.14 设ARmn, r(A)=rn,则dim(K(A)=nr,即Ax = 的任一基础解系中均含有nr个解向量.,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,性质1. 与基础解系等价的线性无关向量组也 是基础解系.,性质2. 若ARmn, r(A) = r, 则Ax = 的任意nr 个线性无关的解向量都是Ax = 的基础解系.,3. 解Amn x = 的一般步骤,A,行 阶 梯 阵
12、,r(A) n?,行 最 简 形,取非主列对应的变量为自由未知量;令其为e1,en-r, 求得通解.,注: 自由未知量的选取不是唯一,只要取定 A中r(A)个线性无关的列,其余列对应变量可为自由变量.,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,例1. 求,的基础解系与通解.,解:,该方程组的基础解系可取为,通解为,1,0,1/5,4/5,取x2, x4为自由未知量,自由变量不能取x3, x4,因不能任意取值, x1, x2也不能表示,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,例2.求解齐次线性方程组Ax = 0,即T x = 0.,若向量Rn, 0, A=T, 求r(A)= , |
13、A|= .,1,0,基础解系中有n-1个解,设,是Ax = 0 的解.,证明:,可由Ax = 0的基础解系线性表示.,例3. ARsn, BRnt. 若AB=0, 则 r(A)+r(B) n.,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基?,Q1,Q7构成D空间的一组基,任意Drer魔方都可由其线性表示.,构造Albrecht Drer的数字魔方,=,=,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基?,Q1,Q7构成D空间的一组基,任意Drer魔方都可由其线性表示.,随心所欲构造Drer魔方,=,=,dij,所
14、得的线性方程组有 个方程? 个变量?,16,23,如何求解该线性方程组呢?,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构,随心所欲构造Drer魔方,=,(dij), Ar D = 0,16维变量y,第四章 n维向量,4.5 线性方程组的解的结构, A=1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 1 0; %变量r对应的系数矩阵 C=A,-
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