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1、HUN-理科,数学,数学,数学,数学,对点集训,高考数学学科考试大纲明确指出:数学学科的考试,按照“考查 基础知识的同时,注重考查能力”.“以能力立意命题”,这是近几年 来高考数学题遵循的原则与命题指导思想,将知识、能力和素质融 为一体,全面检测考生的数学素养和考生进入高等学校继续学习的 潜能,考查考生的数学基本能力应用意识和创新意识,考查考生对数,对点集训,学本质的理解,体现课程标准中对知识与技能、过程与方法、 情感态度与价值观等目标的要求.能力主要指空间想象能力、抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应 用意识和创新意识.,【高考中的空间想象能力】,空间想象能力指的是
2、:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出 直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形 进行分解、组合;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.,近几年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,解答题常,对点集训,常立足柱体、锥体、台体等几何体中位置关系的证明和夹角、距 离的求解,而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和 几何体积、表面积的求解.,热点一:图形处理,立体几何是研究空间图形中的点、线、面之间的位置关系与数量 关系的学科,因此解答立体几何问题时,正确理解空间图形中点、线 、面的位置关系和数量关系,充分借助图形的直观性所提供的信息, 常常有助于探寻
3、问题的求解思路,优化问题的解答过程.对空间图形 的处理能力是空间想象能力深化的标志,是高考从深层次上考查空 间想象能力的主要方面.,对点集训,(2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试)一个几何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示,则其俯视图可能是 ( ),【解析】由正视图和侧视图可知该几何体是一个上面为正四棱锥 下面是一个圆柱的组合体,故其俯视图为B.,【答案】B,对点集训,【归纳拓展】以空间三视图为背景,考查常见组合体的体积、表面 积和空间想象能力,是近年来热点题型.解决此类问题的关键是抓住 三视图之间的关系,平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什 么几何形体构成的,以及它们的三视图的
4、画法.,热点二:概念与推理的结合,立体几何就是通过概念、公理、定理等来演绎的,对概念的理解是 解决立体几何的基础.因此,理解概念的本质,能够根据概念,画出图 形,通过图形直观来思考,分解出解题的元素,从而进行推理与运算, 提高空间想象能力.,对点集训,(山东省潍坊市2012年高三第二次模拟考试)已知两条直线a、b,与两个平面、,b,则下列命题中正确的是 ( ),若a,则ab; 若ab,则a;,若b,则; 若,则b.,(A). (B).,(C). (D).,【解析】由b且a,可得ab,正确;又由b且ab,得a 或a,故不正确;由b且b,可得,正确;由b且, 得b或b,故不正确.,【答案】A,对点
5、集训,【归纳拓展】线面平行、垂直问题是高考备考的重点.从解决“平 行与垂直”的有关基本问题着手,熟悉公理、定理的内容和功能,掌 握解决问题的规律充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直),、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高推理论证、空间想象能 力.,对点集训,(2012年湖南)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面 ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.,(1)证明:BDPC;,(2)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30,求四棱锥P- ABCD的体积.,【解析】(1)因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.,又ACBD,PA,AC是平面P
6、AC内的两条相交直线,所以BD平面PAC,而PC平面PAC,所以BDPC.,对点集训,(2)如图,设AC和BD相交于点O,连结PO,由(1)知,BD平面PAC,所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角,从而DPO=30.,由BD平面PAC,PO平面PAC,知BDPO.,在RtPOD中,由DPO=30,得PD=2OD.,因为四边形ABCD为等腰梯形,ACBD,所以AOD, BOC均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为 AD+ BC= (4+2)=3,于是梯形ABCD的面积为,S= (4+2)3=9.,在等腰三角形AOD中,OD= AD=2 ,对点集训,所以PD=2OD=4 ,PA= =4.,
7、故四棱锥P-ABCD的体积为V= SPA= 94=12.,【归纳拓展】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应 用,及几何体体积的计算.,对点集训,热点三:折展问题,对于空间想象力的考查虽然已从几何思想方法向代数计算方法转 化,但不可否认立体几何对于空间想象能力的训练是向量这一工具 所无法取代的.因此,折展与剪拼题就承担起了这一重要使命,它能很 好地考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所 学知识解决现实问题的能力.,(2012年北京市东城区高三一模)如图1,在边长为3的正 三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1. 将AEF沿EF折
8、起到A1EF的位置,使平面A1EF平面EFB,连结A1,对点集训,【解析】(1)取A1E中点M,连结QM,MF.,在A1BE中,Q,M分别为A1B,A1E的中点,所以 QMBE,且QM= BE.,因为 = = ,所以PFBE,且PF= BE,B,A1P(如图2).,(1)若Q为A1B中点,求证:PQ平面A1EF;,(2)求证:A1EEP.,对点集训,又因为FM平面A1EF,且PQ平面A1EF,所以PQ平面A1EF.,(2)取BE中点D,连结DF.,因为AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2,而A=60,即ADF是正三角形.,所以QMPF,且QM=PF.,所以四边形PQMF为平行四边形.,
9、所以PQFM.,对点集训,又因为AE=ED=1, 所以EFAD.,所以在图2中有A1EEF.,因为平面A1EF平面EFB,平面A1EF平面EFB=EF,所以A1E平面BEF,又EP平面BEF,所以A1EEP.,【归纳拓展】把一个平面图形折叠成一个几何体,再研究其性质,是 考查空间想象能力的常用方法,所以几何体的展开与折叠是高考的 一个热点.此类问题,通过动手操作,把几何体折叠或展开,由平面问 题向立体问题转化,通过折叠前后的边角的“不变”与“变”,判断 所给问题的答案.,对点集训,(2012年福建)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.,
10、(1)求三棱锥A-MCC1的体积;,(2)当A1M+MC取得最小值时,求证:B1M平面MAC.,【解析】(1)由长方体ABCD-A1B1C1D1知,AD平面CDD1C1,点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1,又 = CC1CD= 21=1, = AD = .,对点集训,(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开,与侧面ADD1A1共面,如图,当A1,M,C共线时,A1M+MC取得最小值.,由AD=CD=1,AA1=2,得M为DD1中点.,连结C1M,在C1MC中,MC1= ,MC= ,CC1=2,C =M +MC2,得CMC1=90,即CMMC1,又由长方体ABCD-A1B1C1D1
11、知,B1C1平面CDD1C1,B1C1CM.,又B1C1C1M=C1,CM平面B1C1M,得CMB1M;,同理可证:B1MAM,对点集训,又AMMC=M,B1M平面MAC.,【归纳拓展】沿着几何体表面形成的折线的最短问题,一般考虑几,何体的平面展开图.,对点集训,热点四:探究性问题,由于立体几何中的探究性问题, 描述的是动态的过程,结果具有隐藏 性或不唯一性,需要尝试及等价转化,能够很好地考查学生的空间想 象能力、探究能力,因此它是命题的热点.解决在立体几何中的探究 性问题主要有探究条件型、探求结论型、探究存在型,解决此类问 题的关键是合理利用空间概念进行适当转化.,对点集训,已知在四棱锥P-
12、ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.,(1)证明:PFFD;,(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG平面PFD.,【解析】(1)(法一)设PA=x,因为PA平面ABCD,且AD,AF平面ABCD,所以PAAD,PAAF.,所以PD2=AD2+PA2=4+x2,FD2=CF2+CD2=12+12=2,PF2=PA2+AF2=x2+AB2+BF2=x2+12+12=x2+2,对点集训,所以FD2+PF2=2+2+x2=4+x2=PD2,所以PFFD.,(法二)连结AF,则AF= ,DF= ,又AD=2, DF2+AF2=A
13、D2,DFAF,又PA平面ABCD, DFPA,又PAAF=A, PFFD.,(2)线段PA上存在点G,且AG= AP,使得EG平面PFD.,(法一)如图,取AD的中点Q,连结BQ,则可证得BQFD,再取AQ的中 点H,则因为E是AB的中点,所以EHBQ,所以EHFD,且有AH=,对点集训,AD,再过点H作HGDP交PA于点G,则HGPD,且AG= AP,平面EHG平面PFD,EG平面PFD.从而满足AG= AP的点G 即为所求.,(法二)如图,延长AB、DF交于点H,连结PH;再过E在平面APB中作 EGPH交PA于G,则EG平面PFD.,对点集训,因为F是BC的中点,所以BF= AD.,又
14、因为BFAD,所以HB=BA,而E是AB的中点,所以AE= AH,所以AG = AP.,【归纳拓展】立体几何中的存在性问题,常是先假设“假设”,若经 推理无矛盾,则假设成立;若推出矛盾,则结论为“不存在”.其中分 析法或反证法是解这类题常用的方法.,对点集训,总结:,高考中的空间想象能力考查的主要题型有:,(1)以空间几何体为载体设置有关线线、线面、面面关系的证明题, 有关空间角或空间距离的计算题.此类问题需要有较强的逻辑推理 能力与运算能力,在高考中为必考题,且属于中档题.,(2)以空间几何体为载体设置有关轨迹、排列组合、函数图象等与,对点集训,代数方面综合的试题,此类试题属于创新题,一般以
15、选择题或填空题 为主.解答此类题主要依靠空间想象能力及知识迁移能力和逻辑推 理能力,是一种“多想少写”的试题,应该在平时加强这方面的训练.,【高考中的抽象概括能力】,抽象概括能力离不开思维,是一种数学思维能力,是人脑和数学思维 对象、空间形式、数量关系等相互作用并按一般思维规律认识数 学内容的内在理性活动的能力,是高层次的数学思维能力.抽象是指 舍弃事物非本质的属性,揭示其本质属性;概括是指把仅仅属于某一 类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的, 没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观,对点集训,点或某个结论.,高考中对抽象概括能力的考查要求是:对具体的
16、、生动的实例,在抽 象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概 括出一些结论,并能应用于解决问题或作出新的判断.高考主要从数 学语言、数学模式与数学模型等方面对抽象概括能力进行考查,可 以涉及高考中的每个试题.,对点集训,热点一:从数学语言方面对抽象概括能力的考查,数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言,在高考中主要集中 用文字语言和符号语言,并辅以图形语言,呈现试题内容,其考查的重 点是文字语言,并要求考生能够根据实际情况进行三种形式语言的 理解与转换.,设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1)=0,则不等式 0的解集为 ( ),对点集训,(A)(-1,0)(
17、1,+).,(B)(-,-1)(0,1).,(C)(-,-1)(1,+).,(D)(-1,0)(0,1).,【解析】f(x)为奇函数,f(x)-f(-x)=2f(x), 0等价于,对点集训,0.又f(x)在(0,+)上为增函数,且过点(1,0),画出f(x)在(0,+)的大致 图象;再由奇函数关于原点对称,画出y=f(x)在(-,0)的图象,如图所 示.,由图可知f(x)与x异号的区间如图阴影所示,所求解集为(-1,0)(0, 1),故选D.,【答案】D,【归纳拓展】本题将抽象函数转化为图形语言,直观,容易获得结果.,对点集训,集合B中的元素至多有 ( ),(A)210个. (B)200个.,
18、(C)190个. (D)180个.,【解析】不妨设a1a2a20,则,当a=a1时,b=a2,a3,a20,有19个;,当a=a2时,b=a3,a4,a20,有18个;,依次类推, 当a=a19时,b=a20,有1个.,故集合B中的元素至多有19+18+1= =190.,(北京市2012届西城区高三下学期二模)已知集合A=a1, a2,a20,其中ak0 (k=1,2,20),集合B=(a,b)|aA,bA,且ab,则,对点集训,【答案】C,【归纳拓展】内容的高度抽象是数学的主要特征之一,本题的解决 就是在正确理解抽象的集合语言和符号语言的前提下,将问题具体 化、熟悉化.,对点集训,热点二:从
19、数学模式、数学模型、数学方法方面对抽象概括能力进 行考查,不论是把实际问题转化为数学问题,还是单纯解数学题,都离不开把 问题和解决问题的方法进行比较分类,抽象概括出一种数学结构形 式,然后利用这种结构形式来熟练地解决同类型的实际问题与数学 问题.,对点集训,如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC= ,BB1=2,ABC=90,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F的最短路径的长度为 .,【解析】把平面A1ABB1与平面B1BCC1展开到同一平面内,如图:,A1E= AA1=1,A1F=A1B1+B1F= , 所以EF= = = ;,对点集训,把A1B1C1与侧面A1
20、B1BA展开如图所示:,若把A1B1C1与侧面A1ACC1展开如图:,连结EF,过E作EMCC1于M,作FDEM于D点,则ED= ,FD= ,所以 EF= = .,连结EF,过E作EMBB1于M,则EM=AB= ,FM=1+ ,所以EF= ;,对点集训,比较可得,最小值为 .,【答案】,【归纳拓展】沿着几何体表面形成的折线的最短问题,解决此类问 题的数学模式与方法往往是将几何体展开成平面图,利用平面内两 点间的线段最短.,(湖南省衡阳市2012届高三六校联考)已知函数f(x)=ln x- ,g(x)=f(x)+ax-6ln x,其中aR.,(1)当a=1时,判断f(x)的单调性;,对点集训,(
21、2)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;,(3)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若存在x1(0,1),对于任意的x21,2 ,总有g(x1)h(x2)成立,求实数m的取值范围.,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),且f(x)= ,f(x)在(0,+)上单调 递增.,(2)g(x)=ax- -5ln x,g(x)的定义域为(0,+),g(x)=a+ - = ,因为g(x)在其定义域内为增函数,所以对于任 意的x(0,+),对点集训,g(x)0ax2-5x+a0a(x2+1)5xa a max,而 = ,当且仅当x=1时取等号,所以a .,(3)当a=2时,g
22、(x)=2x- -5ln x,g(x)= ,由g(x)=0得x= 或x=2,当x(0, )时,g(x)0;当x( ,1)时,g(x)0.,所以在(0,1)上,g(x)max=g( )=-3+5ln 2,而“存在x1(0,1),对于任意的x2 1,2,总有g(x1)h(x2)成立”等价于“g(x)在(0,1)上的最大值不小 于h(x)在1,2上的最大值”,而h(x)在1,2上的最大值为maxh(1),h,对点集训,(2),所以有 , m8-5ln 2.,所以实数m的取值范围是8-5ln 2,+).,【归纳拓展】本题深入考查对函数单调性和导数关系的理解,通过 问题的设置从数学模式与数学方法上考查抽
23、象概括能力.,对点集训,对数学语言、数学模式、数学模型的抽象概括.抽象与概括是形成 概念的思维过程和科学方法,只有经过抽象与概括才能使人们对事 物的认识由感性转化为理性.,【高考中的推理论证能力】,推理是思维的基本形式之一,也是学习和生活中经常使用的思维方 式,它由前提和结论两部分组成.论证是由已有的正确的前提到被论 证的结论正确的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理,也包括合 情推理.论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也包括按思 考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想,再 运用演绎推理进行证明.高考对推理能力的考查历来以演绎推理为,总结:,对点集训,重点,新课标下的
24、高考,更关注以归纳和类比推理为主的合情推理,考 查观察、比较、分析、综合、抽象和概括能力;注意数学语言、普 通语言的理解和运用;注意思维品质的考查.,(陕西师大附中2012届高考模拟)在数列an中,a1=1,且 对任意的nN+,都有an+1=2an+2n.,(1)求证:数列 是等差数列;,【解析】(1)an+1=2an+2n, - = = = .,对点集训,数列 是以 = 为首项, 为公差的等差数列.,(2)由(1)知 = + (n-1)= ,an=n2n-1.,Sn=120+221+322+n2n-1. ,2Sn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n. ,由-可得Sn=n2n-
25、(1+2+22+2n-1)=(n-1)2n+1.,Sn+1-4an=n2n+1+1-4n2n-1=1,故结论成立.,【归纳拓展】本题直接从已知条件出发,根据等差数列的定义、通,项公式,利用错位相减法求和,进行一系列的化简,达到解决问题的目的.,对点集训,已知对任意的实数m,直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x3-3 ax(aR)相切.,(1)求实数a的取值范围;,(2)当x-1,1时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴 的距离不小于 .试证明你的结论.,【解析】(1)f(x)=3x2-3a-3a,+),对任意mR,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,-1-3a,+
26、),-1-3a,实数a的取值范围是a .,对点集训,(2)存在.,(法一)问题等价于当x-1,1时,|f(x)|max ,设g(x)=|f(x)|,则g(x)在x-1,1上是偶函数,故只要证明当x0,1时,|f(x)|max ,当a0时,f(x)0,f(x)在0,1上单调递增,且f(0)=0,g(x)=f(x),g(x)max=f(1)=1-3a1 ;,当0a 时,f(x)=3x2-3a=3(x+ )(x- ),列表:,对点集训,f(x)在(0, )上递减,在( ,1)上递增,注意到f(0)=f( )=0,且 1,x(0, )时,g(x)=-f(x),x( ,1)时,g(x)=f(x),g(x
27、)max=maxf(1),-f,( ),由f(1)=1-3a 及0a ,解得0a ,此时-f( )f(1)成立.,g(x)max=f(1)=1-3a .,由-f( )=2a 及0a ,解得 a ,此时-f( )f(1)成立.,g(x)max=-f( )=2a .,在x-1,1上至少存在一个x0,使得|f(x0)| 成立.,(法二:反证法)假设在x-1,1上不存在x0,使得|f(x0)| 成立,即对于 任意的x-1,1,|f(x)| 恒成立,对点集训,设g(x)=|f(x)|,则g(x)在x-1,1上是偶函数,x0,1时,|f(x)|max ,当a0时,f(x)0,f(x)在0,1上单调递增,且
28、f(0)=0,g(x)=f(x),g(x)max=f(1)=1-3a 与a0矛盾;,当0a 时,f(x)=3x2-3a=3(x+ )(x- ),列表:,f(x)在(0, )上递减,在( ,1)上递增,注意到f(0)=f( )=0,且 1,x(0, )时,g(x)=-f(x),x( ,1)时,g(x)=f(x),对点集训,g(x)max=maxf(1),-f( ),注意到0a ,由:,得 矛盾,得 矛盾,对于任意的x-1,1,|f(x)| 与a 矛盾.,假设不成立,原命题成立.,【归纳拓展】本题主要考查函数与导数、函数图象与性质等基础知识,考查学生抽象概括能力、推理论证能力、探究能力,同时考查函
29、数方程思想、分类讨论思想、化归转化思想.,对点集训,(2012河南省洛阳市高三年级第一学期期中考试)已知 抛物线C的方程为x2=2py(p0),O为坐标原点,F为抛物线焦点,直线y= x截抛物线C所得弦|ON|=4 .,(1)求抛物线C的方程;,(2)若直线l过点F交抛物线于A,B两点,交x轴于点M,且 =a , =b ,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理 由.,对点集训,【解析】(1)由 解得O(0,0),N(2p,2p),所以|ON|= =2 p,由2 p=4 ,解得p=2,即抛物线C的方程为x2=4y.,(2)显然直线l的斜率一定存在,设其方程为y=kx
30、+1,l与x轴交于M(- , 0),设直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),由 得x2-4kx-4=0,=(4k)2-(-16)=16(k2+1)0,x1+x2=4k,x1x2=-4.,对点集训,又由 =a ,得(x1+ ,y1)=a(-x1,1-y1),即a= =- ,同理有b=- ,a+b=-( + )=-(2+ )=-1,对任意的直线l,a+b为定值-1.,【归纳拓展】本题主要考查直线与抛物线等基础知识,考查运算求 解能力、推理论证能力及探究能力,考查函数与方程思想、化归与 转化思想.,对点集训,高考中思维能力型问题的常见考查类型有:,(1)运用演绎推理求解型.演绎推理是从
31、一般规律出发,运用逻辑证明 或数学运算,得出特殊事实应遵循的规律,即从一般到特殊.它是由普 遍性的前提推出特殊性结论的一种推理.,(2)运用归纳推理求解型.根据一类事实对象具有的性质,推出这类事 物的所有对象都具有这种性质,它是从特殊到一般的过程,属于合情 推理的一种.,(3)运用联想类比求解型.根据两类不同事物之间具有的某些类似(或 一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质,总结:,对点集训,的推理,也是合情推理的一种.,(4)运用直觉思维求解型.直觉思维就是具有意识的人脑由于思维的 高度活动,对于数学对象、结构及规律的直接领悟和整体把握.,【高考中的运算求解能力】,数
32、学中的运算能力,是指根据运算定义及其性质从已知数据及算法 式推导出结果的一种综合能力.运算能力具体表现在三个方面:会根 据概念、公式和法则对数、式和方程进行正确的运算和变形;能分 析条件,寻求与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行 估计,并能进行近似计算.,对点集训,中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变 形,初等函数的运算和求值,各种几何量的测量与计算,求数列和函数 、积分、概率、统计的初步计算等.高中数学课程标准对高中 阶段运算求解能力作了明确要求,而高考命题对运算求解能力的考 查主要是针对算法、推理及以代数运算的.,无论是选择题、填空题,还是解答题,均要考
33、查运算求解能力的准确 性、敏捷性、灵活性和合理性.当然,高考试题大多考查的是运算的 通性、通法,且控制在一定的运算难度范围之内.,对点集训,在ABC中,a,b,c分别为内角A, B, C的对边,且2asin A=(2a+c)sin B+(2c+b)sin C.,(1)求A的大小;,(2)求sin B+sin C的最大值.,【解析】(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,故cos A=- ,A=120.,(2)由(1)得:sin B+sin C=sin B+sin(60-B)= cos B+ s
34、in B=sin(60+B),故当B=30时,sin B+sin C取得最大值1.,【归纳拓展】本题需要把正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函 数值及两角和与差的正弦等知识点结合起来进行运算.,对点集训,(广东省韶关市二模)已知等比数列an的前n项和为Sn,a 1=1,且S1,2S2,3S3成等差数列.,(1)求数列an的通项公式;,(2)设bn=an+n,求数列bn的前n项和Tn.,【解析】设等比数列an的公比为q,(法一)若q=1,则S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=1022S2,与已知矛盾,故q1,从而得Sn= = ,由S1,2S2,3S3成等差数列,
35、得S1+3S3=22S2,对点集训,即1+3 =4 ,解得q= .,所以an=a1qn-1=( )n-1.,(法二)由S1,2S2,3S3成等差数列,得S1+3S3=22S2,则a1+3(a1+a2+a3)=4(a1 +a2),整理得3a3=a2,所以 = ,即q= .,所以an=a1qn-1=( )n-1.,(2)由(1)得,bn=an+n=( )n-1+n,所以Tn=(a1+1)+(a2+2)+(an+n),=Sn+(1+2+n)= +,对点集训,= + = .,【归纳拓展】本小题主要考查等差、等比数列的通项、求和等知 识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解 能力.在
36、求公比时,法二避免了运用等比数列前n项和公式的分类讨 论,计算过程简捷.,对点集训,(安徽省宣城市2012届高三第三次调研测试)如图,正方形ABCD所成平面与圆O所在平面相交于CD,线段CD为圆O的弦,AE垂直于圆O所成平面,垂足E是圆O上异于C、D的点,AE=3,圆O的直,径为9.,(1)求证:平面ABCD平面ADE;,(2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值.,【解析】(1)AE圆O所在的平面,CD在圆O所在的平面上,AECD,在正方形ABCD中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE,CD在平面ABCD内,对点集训,平面ABCD平面ADE.,(2)(法一)CD平面ADE,DE在平面AD
37、E内,CDDE,CE为圆O的直径,即CE=9,设正方形ABCD边长为a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,对点集训,而DE2=AD2-AE2=a2-9或a=3 ,DE=6,过点E作EFDA交DA于点F,作FGCD交BC于点G,连结GE,由于CD平面ADE,EF在平面ADE内,EFCD,ADCD=D,EF平面ABCD,EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-E的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3 ,AE=3,DE=6,对点集训,ADEF=AEEF,EF= ,在直角三角形EFG中,FG=AB=3 ,tanEGF= = ,故二面角D-BC-E的
38、平面角的正切值是 .,(法二)CD平面ADE,DE在平面ADE内,CDDE,CE为圆O的 直径,即CE=9,设正方形ABCD边长为a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9,故a=3 ,DE=6,过点E作EFDE于点F,作FGCD交BC于点G,连结GE,对点集训,由于CD平面ADE,EF在平面ADE内,EFCD,ADCD=D,EF平面ABCD,EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-F的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3 ,AE=3,DE=6,以D为原点,分别以ED,CD所在的直线为x轴,y轴建立如图所示的空
39、 间直角坐标系.,则D(0,0,0),E(-6,0,0),C(0,-3 ,0),A(-6,0,3),B(-6,-3 ,3),对点集训,设平面ABCD的法向量为n1=(x1,y1,z1),可求n1=(1,0,2),设平面BCE的法 向量为n2=(x2,y2,z2),可求n2=( ,2,2 ),cos= = ,tan= .,【归纳拓展】本小题主要考查空间线面、面面关系等基础知识,考 查数形结合思想、化归转化思想,以及空间想象能力、推理论证能 力、运算求解能力.在计算二面角的平面角的三角函数值时,可以根 据自己的情况选择自己熟悉的方法,给考生以发挥的空间.,对点集训,(江西省南昌市20112012学
40、年度高三第三次模拟测 试)若x1、x2(x1x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)的两个极值点.,(1)若x1=- ,x2=1,求函数f(x)的解析式;,【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2-a2x(a0),所以f(x)=3ax2+2bx-a2,依题意,- 和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根,所以 且a0,解得a=1,b=-1.,所以经检验f(x)=x3-x2-x.,对点集训,(2)f(x)=3ax2+2bx-a2(a0),依题意:x1,x2是方程f(x)=0的两个根;,x1x2=- 0,且|x1|+|x2|=2 ,(x1-x2)2=12,(- )2+ =12.,b
41、2=3a2(9-a),b20,0a9,设p(a)=3a2(9-a),则p(a)=54a-9a2.,由p(a)0得06,即函数p(a)在区间(0,6上是增函数,在区间6,9上是减函数,当a=6 时,p(a)有极大值为324,p(a)在(0,9上的最大值是324,b的最大值为18.,【归纳拓展】本题考查函数、导数知识及应用,考查运算求解能力及抽象概括能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法.求解时,利用根与系数之间的关系,可使求解简便.,对点集训,练,以提高自身的运算能力.一般地,在二轮复习时应注意:,(1)加强双基练习,提高运算的准确性.基础知识是运算的依据,对运 算具有指导意义,基础知识
42、混淆、模糊,往往引起运算错误,所以加强 和落实双基教学是提高运算能力的首要问题.具体地说,就是要熟记 公式和法则,正确的记忆公式和法则是运算准确的前提.正确理解概 念,并能掌握公式的推导,只有理解某些概念与公式的推导,才能做到 公式的正用、反用和活用,从而提高运算能力.,(2)优化解题途径,提高运算速度.运算速度是运算能力的重要标志, 在运算准确的前提下,首先加强通性、通法的训练,优化解题途径,努 力做到准确合理、快速.合理利用概念、性质、法则、原理去简化,总结:,针对高考的“运算能力”考查,我们必须有意识地进行运算能力训,对点集训,运算,以提高速度.除公式、法则外,善于记住一些常用的结论,便
43、可 大大提高运算速度.如常用的勾股数、奇函数y=f(x)在x=0时有定义, 则f(0)=0等.,(3)注意培养自己的运算灵活性.抓好心理和思维灵活性训练可以促 进运算的灵活性.心理和思维灵活性训练的核心是识别文字语言、 图形语言、符号语言等各种表达形式的本质,迅速抓住运算的实质, 以迅速联想、形成策略、提高自己的洞察能力.,(4)善于分析题目条件,寻求合理简捷的算法.要做一个运算问题,首 先要善于分析题目条件,做到审视性读题、多角度观察、综合性思 考,以确定运算方向及方法.,对点集训,(5)有意识地进行比较复杂的运算.每年高考都说要控制运算量,但结 果是每年都控制不了.理由很简单:有数学就有运
44、算.不厌其烦的运算 (或加大运算量,或一题多设问,或参数要多次讨论等),可以培养我们 的耐性和坚忍不拔的性格.当然,在进行这方面的训练时,要根据自身 的实际情况而精心设计,切不可盲目加大难度.,【高考中的数据处理能力】,高考中的数据处理能力,是指会收集、整理、分析数据,能从大量数 据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断.数据处理能力主要依 据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的 实际问题.统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的科学,它可,对点集训,以为人们制定决策提供依据,它逐渐成为未来公民的一个必备常识, 统计的教学具有重要的地位,新课标高考题对统计的知识的考查力 度
45、得到加强.高考中的数据处理能力在高考考查中主要表现在:,(1)在概率统计中命制试题,它是把有关数据处理与概率统计题综合 在一起,试题侧重点在于概率统计的有关知识.具体表现在抽样方法 、统计图表、用样本估计总体等.,(2)在线性回归分析中命制试题,具体表现在求回归方程并由此解决 其他有关问题,其侧重在于最小二乘估计,此类试题有较复杂的运算 过程,同时考查运算能力.,对点集训,(3)在独立性检验方面命制试题,具体体现在22列联表(关联表)与相 关系数的理解与应用.,(江苏省南通市2012届高三上学期第一次调研测试)某 农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间 的关系进行分析研究,他
46、们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼 夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:,对点集训,该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩 下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.,(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;,(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12 月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程 = x+ ;,(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差 均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得 的线性回归方程是否可靠?,【解析】(1)设抽到不相邻两组数
47、据为事件A,因为从5组数据中选取,对点集训,2组数据共有10种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻 两组数据的情况有4种,所以P(A)=1- = .,(2)由数据,求得 =12, =27.由公式,求得 = , = -b =-3.,所以y关于x的线性回归方程为 = x-3.,(3)当x=10时, = 10-3=22,|22-23|2;,同样,当x=8时, = 8-3=17,|17-16|2.,所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的.,对点集训,【归纳拓展】本题主要考查线性回归分析和独立性检验的统计分 析方法,考查数据处理能力、分析解决问题的能力以及实践能力.进 行线性回归分析时,要先画出散点图确定两变量具有线性相关关系, 然后利用公式求回归系数a,b,得到回归直线方程,最后再进行有关的 线性分析.,(2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试)2 012年2月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将回归 基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示:,(1)求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差;,对点集训,(2)求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率;,(3)求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩
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