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1、线性代数,主讲教师:李永群 电 话:13077373424 办公室地点:数学院210室,考试及要求,2. 期末闭卷考试,总评比例:8:2,3. 平时成绩采取扣分制。,1. 本门课共2.5个学分,关于平时分的规定:,一、旷课1次扣1分;早退、第二节才来上课的算旷课; 二、旷课超过本学期总课时的1/3者,取消考试资格; 三、迟到、说话、睡觉、接打手机每次扣1分; 四、扰乱秩序,扣5分; 五、每少交一次作业,扣1分,抄袭作业一次扣2分。,5. 答疑:每周二下午2:30-5:00在二教一楼休息室。,4. 助教信息:,一元一次方程 ax = b,一元二次方程,二元 、三元线性方程组,行列式 矩阵及其运算
2、 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量 二次型,第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式,2 全排列及其逆序数,3 n 阶行列式的定义,4 对换,5 行列式的性质,6 行列式按行(列)展开, 7 Cramer 法则,1理解n个元素的全排列及其逆序数的定义。 2理解n阶行列式的定义,熟练掌握行列式的性质,会用行列式的有关性质化简、计算行列式。 3熟练掌握把一般行列式化简为上(下)三角形行列式的方法。,本章学习要求:,对于概念和理论方面的内容,从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面的内容,从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握
3、”、“能”(或“会”)三级来表述。,4会求n阶行列式中元素 的代数余子式 ,并熟练掌握行列式按某行(列)展开的方法。 5能熟练应用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解。,本章学习要求:,对于概念和理论方面的内容,从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面的内容,从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”(或“会”)三级来表述。,一元一次方程 ax = b,当 a0 时,,二元 (三元)线性方程组,例 解二元线性方程组,得,于是,类似地,可得,于是,1 二阶与三阶行列式,线性方程组,消去 x2 ,的两边后,两式相加得,消元法,记,
4、称它为二阶行列式,,于是,线性方组(1)的解可以写为,定义为,类似地,可得,类似的,我们还可以定义三阶行列式为,n 阶排列共有 n!个.,排列的逆序数,2 全排列及其逆序数,把 1, 2, , n 排成一列,称为一个 n 阶全排列.,奇排列 逆序数为奇数的排列.,在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有,例 1 排列 1 2 n 称为自然排列,,所以是偶排列.,一个逆序.,偶排列,一个排列中所有逆序的总数.,逆序数为偶数的排列.,它的逆序数为0 ,,三 阶排列,共有321=3!个.,记为,例 2 排列 3 2 5 1 4 的逆序数为,(),例 3 排列 n ( n 1 ) 3 2
5、1 的逆序数为,( n (n 1) 3 2 1 ),排列 3 2 5 1 4 为奇排列.,2200 5,= ( n 1 ) + ( n 2 ) + +2+1,三阶行列式定义为,3 n 阶行列式的定义,三阶行列式是,3 != 6 项,的代数和.,123,231,312,132,213,321,(123)=0,(231)=2,(312)=2,(132)=1,(213)=1,(321)=3,三阶行列式可以写成,数,定义 由 n2 个数组成的数表,,称为 n 阶行列式 ,项的代数和,,即,规定为所有形如,记成,数,例 1,简记为:,称为下三角行列式,例2 下三角行列式,例 3 三阶行列式,上三角行列式
6、呢?,问:,例5 n 阶行列式,例4 四阶行列式,经对换 a 与 b ,得排列,所以,经一次相邻对换,排列改变奇偶性.,4 对换,对换,定理 1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.,证 先证相邻对换的情形.,那么,设排列,经对换 a 与 b排列,得排列,相邻对换,再证一般对换的情形.,设排列,事实上,排列(1)经过 2m + 1 次相邻对换变为排列(2).,定理 2 n 阶行列式也可以定义为,根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数,,性相反.,所以这两个排列的奇偶,53142,解 (5314 2) = 4+2+0+1+0=7,(53412) = 4+2+2+0+0=8,5341
7、2,求这两个排列的逆序数.,经对换1与4 得排列,例 1 排列,1. 选择 i 与 k 使,(1)2 5 i 1 k 成偶排列;,(2)2 5 i 1 k 成奇排列.,若是,指出应冠以的符号,3.计算n 阶行列式,练习,行列式中的项.,1.(1)i = 4, k = 3时,即排列 2 5 4 1 3 为偶排列;,(2)i = 3, k = 4时,即排列 2 5 3 1 4 为奇排列.,性质 1,5 行列式的性质,行列式与它的转置行列式相等.,设,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.,记,那么,=,性质 2,推论 两行(列)相同的行列式值为零.,互换行列式的两行(列),行列式变号.,设行
8、列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i j ) 两行,得行列式,性质 2 的证明,其中,当 k i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时,bip = ajp, bjp = aip ,其中, 1i j n 是自然排列,所以,于是,= D,数 k ,推论 行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式符号,性质 3,等于用数 k 乘此行列式 .,行列式的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个,外面.,例 3,性质4,式等于零.,行列式中如果有两行(列)元素成比例 ,则此行列,例5,= 0,若行列式 的某一列(行)的元素都是两个元素和 ,,例如,则此行列式
9、等于两个行列式之和 .,性质 5,例6,把行列式的某行(列)的各元素同一倍数后加到另,一行(列)的对应元素上去,,行列式的值不变.,性质 6,r2 - r1,=,例7,例 8 计算行列式,解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1,例 8 计算行列式,r22,r3 + r2 , r4 - 2r2,r4( -3 ) , r3r4,r4+3r3,例 9 计算行列式,解 从第 4 行开始,后行减前行得,,例 10 计算行列式,解 各行都加到第一行,,各行都减第一行的 x 倍,第一行提取公因子( a+3x ),6 行列式按行(列)展开,在 n 阶行列式 det ( aij ) 中,把元
10、素 aij 所在的第 i 行和第 j 列,Aij = ( 1 ) i+j Mij,记成 Mij ,称为元素 aij 的余子式.,称它为元素 aij 的代数余子式.,划去, 剩下的( n 1 )2 个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式,记,例1 三阶行列式,中元素 a23 的余子式为,元素 a23 的代数余子式为,例2 四阶行列式,中元素 x 的代数余子式为,= 5,行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元,或,行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应,或,的代数余子式乘积之和,即,素的代数余子式乘积之和等于零. 即,定理 3,推论,引理 在行列式 D 中,如果它的第 i 行中除
11、 aij 外其余元素,都为0, 即,D = aij Aij,那么,证明 先证 aij 位于第 1 行,第 1 列的情形,即,由行列式的定义,得,再证一般情形,设,用互换相邻两行和相邻两列,把 aij 调到左上角,得行列式,利用前面的结果,得,于是,所以引理成立.,定理 3 行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应,证 因为,或,的代数余子式乘积之和,即,椐引理,就得到,类似地可得,例 3 计算四阶行列式,解 按第 1 列展开,有,例 4 计算四阶行列式,解 按第 1 行展开,有,对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行展开,得,解 c3 - c1 c4 - 2c1,例 5 计算四阶行列
12、式,第1 行提取 2,第 2 行提取 1,按第 2 行展开得,按第 1 行展开,r2 + r1,= 24,c2 - c1 ,c3 - c1,例 6 证明范德蒙(Vandermonde ) 行列式,证 用数学归纳法.,所以当 n=2 时(*)式成立.,假设对于 n 1 阶范德蒙,ri x1ri -1 , i = n , n 1 , 2 ,有,因为,对 n 阶范德蒙行列式做运算,行列式等式成立.,按第 1 列展开后,各列提取公因子( xi - x1 ) 得,椐归纳法假设,可得,归纳法完成.,例7 计算 行列式,解,例7 计算 行列式,推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元,或,元素的
13、代数余子式乘积之和等于零. 即,先以 3 阶行列式为例,例如为了证得,因为,所以,又,设行列式 D = det (aij ) ,,因为行列式 D1中第 i 行与第 j 行元素对应相同,,把行列式 D1 按第 j 行展开,有,类似地,也可以证明另一个式子.,所以,推论的证明,取行列式, 7 Cramer 法则,设线性方程组,定理4 (Cramer 法则 )若线性方程组(1)的系数行列式不,即,等于零,,其中,则方程组有唯一解,证 先证(2)是(1)的解,即要证明,为此看 n+1 阶行列式,第1行展开,注意到,其第一行中 aij 的代数余子式为,首先,因为第 1 行与第 i+1 行相同,所以它的值为零. 再把它按,故有,因而,即,是线性方程组(1)解.,3 个恒等式,A12 , A22 , A32 分别乘以上的 3 个等式得,相加,得,设 x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是线性方程组(1)的解,于是有,只证三个未知量的情形。,类似的可得,于是,也就是,由于,例1 用 Cramer 法则解线性方程组,解 因为,所以,定理 5 如果齐次线性方程组,的系数行列式 D0 ,那么它只有零解.,下述齐次方程组有非零解?,解 根据定理 5 ,若此齐次线性方程组有非零解,则其系,所述方程组确有非零解.,行列式必为 0 .而,
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